$
\newcommand{\undefined}{}
\newcommand{\hfill}{}
\newcommand{\qedhere}{\square}
\newcommand{\qed}{\square}
\newcommand{\ensuremath}[1]{#1}
\newcommand{\bit}{\{0,1\}}
\newcommand{\Bit}{\{-1,1\}}
\newcommand{\Stab}{\mathbf{Stab}}
\newcommand{\NS}{\mathbf{NS}}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\Var}{\mathbf{Var}}
\newcommand{\dist}{\text{dist}}
\newcommand{\norm}[1]{\\|#1\\|}
\newcommand{\etal}
\newcommand{\ie}
\newcommand{\eg}
\newcommand{\cf}
\newcommand{\rank}{\text{rank}}
\newcommand{\tr}{\text{tr}}
\newcommand{\mor}{\text{Mor}}
\newcommand{\hom}{\text{Hom}}
\newcommand{\id}{\text{id}}
\newcommand{\obj}{\text{obj}}
\newcommand{\pr}{\text{pr}}
\newcommand{\ker}{\text{ker}}
\newcommand{\coker}{\text{coker}}
\newcommand{\im}{\text{im}}
\newcommand{\vol}{\text{vol}}
\newcommand{\disc}{\text{disc}}
\newcommand{\bbA}{\mathbb A}
\newcommand{\bbB}{\mathbb B}
\newcommand{\bbC}{\mathbb C}
\newcommand{\bbD}{\mathbb D}
\newcommand{\bbE}{\mathbb E}
\newcommand{\bbF}{\mathbb F}
\newcommand{\bbG}{\mathbb G}
\newcommand{\bbH}{\mathbb H}
\newcommand{\bbI}{\mathbb I}
\newcommand{\bbJ}{\mathbb J}
\newcommand{\bbK}{\mathbb K}
\newcommand{\bbL}{\mathbb L}
\newcommand{\bbM}{\mathbb M}
\newcommand{\bbN}{\mathbb N}
\newcommand{\bbO}{\mathbb O}
\newcommand{\bbP}{\mathbb P}
\newcommand{\bbQ}{\mathbb Q}
\newcommand{\bbR}{\mathbb R}
\newcommand{\bbS}{\mathbb S}
\newcommand{\bbT}{\mathbb T}
\newcommand{\bbU}{\mathbb U}
\newcommand{\bbV}{\mathbb V}
\newcommand{\bbW}{\mathbb W}
\newcommand{\bbX}{\mathbb X}
\newcommand{\bbY}{\mathbb Y}
\newcommand{\bbZ}{\mathbb Z}
\newcommand{\sA}{\mathscr A}
\newcommand{\sB}{\mathscr B}
\newcommand{\sC}{\mathscr C}
\newcommand{\sD}{\mathscr D}
\newcommand{\sE}{\mathscr E}
\newcommand{\sF}{\mathscr F}
\newcommand{\sG}{\mathscr G}
\newcommand{\sH}{\mathscr H}
\newcommand{\sI}{\mathscr I}
\newcommand{\sJ}{\mathscr J}
\newcommand{\sK}{\mathscr K}
\newcommand{\sL}{\mathscr L}
\newcommand{\sM}{\mathscr M}
\newcommand{\sN}{\mathscr N}
\newcommand{\sO}{\mathscr O}
\newcommand{\sP}{\mathscr P}
\newcommand{\sQ}{\mathscr Q}
\newcommand{\sR}{\mathscr R}
\newcommand{\sS}{\mathscr S}
\newcommand{\sT}{\mathscr T}
\newcommand{\sU}{\mathscr U}
\newcommand{\sV}{\mathscr V}
\newcommand{\sW}{\mathscr W}
\newcommand{\sX}{\mathscr X}
\newcommand{\sY}{\mathscr Y}
\newcommand{\sZ}{\mathscr Z}
\newcommand{\sfA}{\mathsf A}
\newcommand{\sfB}{\mathsf B}
\newcommand{\sfC}{\mathsf C}
\newcommand{\sfD}{\mathsf D}
\newcommand{\sfE}{\mathsf E}
\newcommand{\sfF}{\mathsf F}
\newcommand{\sfG}{\mathsf G}
\newcommand{\sfH}{\mathsf H}
\newcommand{\sfI}{\mathsf I}
\newcommand{\sfJ}{\mathsf J}
\newcommand{\sfK}{\mathsf K}
\newcommand{\sfL}{\mathsf L}
\newcommand{\sfM}{\mathsf M}
\newcommand{\sfN}{\mathsf N}
\newcommand{\sfO}{\mathsf O}
\newcommand{\sfP}{\mathsf P}
\newcommand{\sfQ}{\mathsf Q}
\newcommand{\sfR}{\mathsf R}
\newcommand{\sfS}{\mathsf S}
\newcommand{\sfT}{\mathsf T}
\newcommand{\sfU}{\mathsf U}
\newcommand{\sfV}{\mathsf V}
\newcommand{\sfW}{\mathsf W}
\newcommand{\sfX}{\mathsf X}
\newcommand{\sfY}{\mathsf Y}
\newcommand{\sfZ}{\mathsf Z}
\newcommand{\cA}{\mathcal A}
\newcommand{\cB}{\mathcal B}
\newcommand{\cC}{\mathcal C}
\newcommand{\cD}{\mathcal D}
\newcommand{\cE}{\mathcal E}
\newcommand{\cF}{\mathcal F}
\newcommand{\cG}{\mathcal G}
\newcommand{\cH}{\mathcal H}
\newcommand{\cI}{\mathcal I}
\newcommand{\cJ}{\mathcal J}
\newcommand{\cK}{\mathcal K}
\newcommand{\cL}{\mathcal L}
\newcommand{\cM}{\mathcal M}
\newcommand{\cN}{\mathcal N}
\newcommand{\cO}{\mathcal O}
\newcommand{\cP}{\mathcal P}
\newcommand{\cQ}{\mathcal Q}
\newcommand{\cR}{\mathcal R}
\newcommand{\cS}{\mathcal S}
\newcommand{\cT}{\mathcal T}
\newcommand{\cU}{\mathcal U}
\newcommand{\cV}{\mathcal V}
\newcommand{\cW}{\mathcal W}
\newcommand{\cX}{\mathcal X}
\newcommand{\cY}{\mathcal Y}
\newcommand{\cZ}{\mathcal Z}
\newcommand{\bfA}{\mathbf A}
\newcommand{\bfB}{\mathbf B}
\newcommand{\bfC}{\mathbf C}
\newcommand{\bfD}{\mathbf D}
\newcommand{\bfE}{\mathbf E}
\newcommand{\bfF}{\mathbf F}
\newcommand{\bfG}{\mathbf G}
\newcommand{\bfH}{\mathbf H}
\newcommand{\bfI}{\mathbf I}
\newcommand{\bfJ}{\mathbf J}
\newcommand{\bfK}{\mathbf K}
\newcommand{\bfL}{\mathbf L}
\newcommand{\bfM}{\mathbf M}
\newcommand{\bfN}{\mathbf N}
\newcommand{\bfO}{\mathbf O}
\newcommand{\bfP}{\mathbf P}
\newcommand{\bfQ}{\mathbf Q}
\newcommand{\bfR}{\mathbf R}
\newcommand{\bfS}{\mathbf S}
\newcommand{\bfT}{\mathbf T}
\newcommand{\bfU}{\mathbf U}
\newcommand{\bfV}{\mathbf V}
\newcommand{\bfW}{\mathbf W}
\newcommand{\bfX}{\mathbf X}
\newcommand{\bfY}{\mathbf Y}
\newcommand{\bfZ}{\mathbf Z}
\newcommand{\rmA}{\mathrm A}
\newcommand{\rmB}{\mathrm B}
\newcommand{\rmC}{\mathrm C}
\newcommand{\rmD}{\mathrm D}
\newcommand{\rmE}{\mathrm E}
\newcommand{\rmF}{\mathrm F}
\newcommand{\rmG}{\mathrm G}
\newcommand{\rmH}{\mathrm H}
\newcommand{\rmI}{\mathrm I}
\newcommand{\rmJ}{\mathrm J}
\newcommand{\rmK}{\mathrm K}
\newcommand{\rmL}{\mathrm L}
\newcommand{\rmM}{\mathrm M}
\newcommand{\rmN}{\mathrm N}
\newcommand{\rmO}{\mathrm O}
\newcommand{\rmP}{\mathrm P}
\newcommand{\rmQ}{\mathrm Q}
\newcommand{\rmR}{\mathrm R}
\newcommand{\rmS}{\mathrm S}
\newcommand{\rmT}{\mathrm T}
\newcommand{\rmU}{\mathrm U}
\newcommand{\rmV}{\mathrm V}
\newcommand{\rmW}{\mathrm W}
\newcommand{\rmX}{\mathrm X}
\newcommand{\rmY}{\mathrm Y}
\newcommand{\rmZ}{\mathrm Z}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\paren}[1]{( #1 )}
\newcommand{\Paren}[1]{\left( #1 \right)}
\newcommand{\bigparen}[1]{\bigl( #1 \bigr)}
\newcommand{\Bigparen}[1]{\Bigl( #1 \Bigr)}
\newcommand{\biggparen}[1]{\biggl( #1 \biggr)}
\newcommand{\Biggparen}[1]{\Biggl( #1 \Biggr)}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert #1 \rvert}
\newcommand{\Abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\bigabs}[1]{\bigl\lvert #1 \bigr\rvert}
\newcommand{\Bigabs}[1]{\Bigl\lvert #1 \Bigr\rvert}
\newcommand{\biggabs}[1]{\biggl\lvert #1 \biggr\rvert}
\newcommand{\Biggabs}[1]{\Biggl\lvert #1 \Biggr\rvert}
\newcommand{\card}[1]{\left| #1 \right|}
\newcommand{\Card}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\bigcard}[1]{\bigl\lvert #1 \bigr\rvert}
\newcommand{\Bigcard}[1]{\Bigl\lvert #1 \Bigr\rvert}
\newcommand{\biggcard}[1]{\biggl\lvert #1 \biggr\rvert}
\newcommand{\Biggcard}[1]{\Biggl\lvert #1 \Biggr\rvert}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\bignorm}[1]{\bigl\lVert #1 \bigr\rVert}
\newcommand{\Bignorm}[1]{\Bigl\lVert #1 \Bigr\rVert}
\newcommand{\biggnorm}[1]{\biggl\lVert #1 \biggr\rVert}
\newcommand{\Biggnorm}[1]{\Biggl\lVert #1 \Biggr\rVert}
\newcommand{\iprod}[1]{\langle #1 \rangle}
\newcommand{\Iprod}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}
\newcommand{\bigiprod}[1]{\bigl\langle #1 \bigr\rangle}
\newcommand{\Bigiprod}[1]{\Bigl\langle #1 \Bigr\rangle}
\newcommand{\biggiprod}[1]{\biggl\langle #1 \biggr\rangle}
\newcommand{\Biggiprod}[1]{\Biggl\langle #1 \Biggr\rangle}
\newcommand{\set}[1]{\lbrace #1 \rbrace}
\newcommand{\Set}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}
\newcommand{\bigset}[1]{\bigl\lbrace #1 \bigr\rbrace}
\newcommand{\Bigset}[1]{\Bigl\lbrace #1 \Bigr\rbrace}
\newcommand{\biggset}[1]{\biggl\lbrace #1 \biggr\rbrace}
\newcommand{\Biggset}[1]{\Biggl\lbrace #1 \Biggr\rbrace}
\newcommand{\bracket}[1]{\lbrack #1 \rbrack}
\newcommand{\Bracket}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}
\newcommand{\bigbracket}[1]{\bigl\lbrack #1 \bigr\rbrack}
\newcommand{\Bigbracket}[1]{\Bigl\lbrack #1 \Bigr\rbrack}
\newcommand{\biggbracket}[1]{\biggl\lbrack #1 \biggr\rbrack}
\newcommand{\Biggbracket}[1]{\Biggl\lbrack #1 \Biggr\rbrack}
\newcommand{\ucorner}[1]{\ulcorner #1 \urcorner}
\newcommand{\Ucorner}[1]{\left\ulcorner #1 \right\urcorner}
\newcommand{\bigucorner}[1]{\bigl\ulcorner #1 \bigr\urcorner}
\newcommand{\Bigucorner}[1]{\Bigl\ulcorner #1 \Bigr\urcorner}
\newcommand{\biggucorner}[1]{\biggl\ulcorner #1 \biggr\urcorner}
\newcommand{\Biggucorner}[1]{\Biggl\ulcorner #1 \Biggr\urcorner}
\newcommand{\ceil}[1]{\lceil #1 \rceil}
\newcommand{\Ceil}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand{\bigceil}[1]{\bigl\lceil #1 \bigr\rceil}
\newcommand{\Bigceil}[1]{\Bigl\lceil #1 \Bigr\rceil}
\newcommand{\biggceil}[1]{\biggl\lceil #1 \biggr\rceil}
\newcommand{\Biggceil}[1]{\Biggl\lceil #1 \Biggr\rceil}
\newcommand{\floor}[1]{\lfloor #1 \rfloor}
\newcommand{\Floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
\newcommand{\bigfloor}[1]{\bigl\lfloor #1 \bigr\rfloor}
\newcommand{\Bigfloor}[1]{\Bigl\lfloor #1 \Bigr\rfloor}
\newcommand{\biggfloor}[1]{\biggl\lfloor #1 \biggr\rfloor}
\newcommand{\Biggfloor}[1]{\Biggl\lfloor #1 \Biggr\rfloor}
\newcommand{\lcorner}[1]{\llcorner #1 \lrcorner}
\newcommand{\Lcorner}[1]{\left\llcorner #1 \right\lrcorner}
\newcommand{\biglcorner}[1]{\bigl\llcorner #1 \bigr\lrcorner}
\newcommand{\Biglcorner}[1]{\Bigl\llcorner #1 \Bigr\lrcorner}
\newcommand{\bigglcorner}[1]{\biggl\llcorner #1 \biggr\lrcorner}
\newcommand{\Bigglcorner}[1]{\Biggl\llcorner #1 \Biggr\lrcorner}
\newcommand{\ket}[1]{| #1 \rangle}
\newcommand{\bra}[1]{\langle #1 |}
\newcommand{\braket}[2]{\langle #1 | #2 \rangle}
\newcommand{\ketbra}[1]{| #1 \rangle\langle #1 |}
\newcommand{\e}{\varepsilon}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\from}{\colon}
\newcommand{\super}[2]{#1^{(#2)}}
\newcommand{\varsuper}[2]{#1^{\scriptscriptstyle (#2)}}
\newcommand{\tensor}{\otimes}
\newcommand{\eset}{\emptyset}
\newcommand{\sse}{\subseteq}
\newcommand{\sst}{\substack}
\newcommand{\ot}{\otimes}
\newcommand{\Esst}[1]{\bbE_{\substack{#1}}}
\newcommand{\vbig}{\vphantom{\bigoplus}}
\newcommand{\seteq}{\mathrel{\mathop:}=}
\newcommand{\defeq}{\stackrel{\mathrm{def}}=}
\newcommand{\Mid}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\Ind}{\mathbf 1}
\newcommand{\bits}{\{0,1\}}
\newcommand{\sbits}{\{\pm 1\}}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Rnn}{\R_{\ge 0}}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\A}{\mathbb A}
\newcommand{\Real}{\mathbb R}
\newcommand{\mper}{\,.}
\newcommand{\mcom}{\,,}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\cone}{cone}
\DeclareMathOperator{\vol}{vol}
\DeclareMathOperator{\val}{val}
\DeclareMathOperator{\opt}{opt}
\DeclareMathOperator{\Opt}{Opt}
\DeclareMathOperator{\Val}{Val}
\DeclareMathOperator{\LP}{LP}
\DeclareMathOperator{\SDP}{SDP}
\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\Inf}{Inf}
\DeclareMathOperator{\size}{size}
\DeclareMathOperator{\poly}{poly}
\DeclareMathOperator{\polylog}{polylog}
\DeclareMathOperator{\min}{min}
\DeclareMathOperator{\max}{max}
\DeclareMathOperator{\argmax}{arg\,max}
\DeclareMathOperator{\argmin}{arg\,min}
\DeclareMathOperator{\qpoly}{qpoly}
\DeclareMathOperator{\qqpoly}{qqpoly}
\DeclareMathOperator{\conv}{conv}
\DeclareMathOperator{\Conv}{Conv}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\perm}{perm}
\DeclareMathOperator{\mspan}{span}
\DeclareMathOperator{\mrank}{rank}
\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb E}
\DeclareMathOperator{\pE}{\tilde{\mathbb E}}
\DeclareMathOperator{\Pr}{\mathbb P}
\DeclareMathOperator{\Span}{Span}
\DeclareMathOperator{\Cone}{Cone}
\DeclareMathOperator{\junta}{junta}
\DeclareMathOperator{\NSS}{NSS}
\DeclareMathOperator{\SA}{SA}
\DeclareMathOperator{\SOS}{SOS}
\DeclareMathOperator{\Stab}{\mathbf Stab}
\DeclareMathOperator{\Det}{\textbf{Det}}
\DeclareMathOperator{\Perm}{\textbf{Perm}}
\DeclareMathOperator{\Sym}{\textbf{Sym}}
\DeclareMathOperator{\Pow}{\textbf{Pow}}
\DeclareMathOperator{\Gal}{\textbf{Gal}}
\DeclareMathOperator{\Aut}{\textbf{Aut}}
\newcommand{\iprod}[1]{\langle #1 \rangle}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\pE}{\tilde{\mathbb{E}}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathcal{P}}
\notag
$
$
\newcommand{\sleq}{\ensuremath{\preceq}}
\newcommand{\sgeq}{\ensuremath{\succeq}}
\newcommand{\diag}{\ensuremath{\mathrm{diag}}}
\newcommand{\support}{\ensuremath{\mathrm{support}}}
\newcommand{\zo}{\ensuremath{\{0,1\}}}
\newcommand{\pmo}{\ensuremath{\{\pm 1\}}}
\newcommand{\uppersos}{\ensuremath{\overline{\mathrm{sos}}}}
\newcommand{\lambdamax}{\ensuremath{\lambda_{\mathrm{max}}}}
\newcommand{\rank}{\ensuremath{\mathrm{rank}}}
\newcommand{\Mslow}{\ensuremath{M_{\mathrm{slow}}}}
\newcommand{\Mfast}{\ensuremath{M_{\mathrm{fast}}}}
\newcommand{\Mdiag}{\ensuremath{M_{\mathrm{diag}}}}
\newcommand{\Mcross}{\ensuremath{M_{\mathrm{cross}}}}
\newcommand{\eqdef}{\ensuremath{ =^{def}}}
\newcommand{\threshold}{\ensuremath{\mathrm{threshold}}}
\newcommand{\vbls}{\ensuremath{\mathrm{vbls}}}
\newcommand{\cons}{\ensuremath{\mathrm{cons}}}
\newcommand{\edges}{\ensuremath{\mathrm{edges}}}
\newcommand{\cl}{\ensuremath{\mathrm{cl}}}
\newcommand{\xor}{\ensuremath{\oplus}}
\newcommand{\1}{\ensuremath{\mathrm{1}}}
\notag
$
$
\newcommand{\transpose}[1]{\ensuremath{#1{}^{\mkern-2mu\intercal}}}
\newcommand{\dyad}[1]{\ensuremath{#1#1{}^{\mkern-2mu\intercal}}}
\newcommand{\nchoose}[1]{\ensuremath}
\newcommand{\generated}[1]{\ensuremath{\langle #1 \rangle}}
\notag
$
$
\newcommand{\eqdef}{\mathbin{\stackrel{\rm def}{=}}}
\newcommand{\R} % real numbers
\newcommand{\N}} % natural numbers
\newcommand{\Z} % integers
\newcommand{\F} % a field
\newcommand{\Q} % the rationals
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % the complexes
\newcommand{\poly}}
\newcommand{\polylog}}
\newcommand{\loglog}}}
\newcommand{\zo}{\{0,1\}}
\newcommand{\suchthat}
\newcommand{\pr}[1]{\Pr\left[#1\right]}
\newcommand{\deffont}{\em}
\newcommand{\getsr}{\mathbin{\stackrel{\mbox{\tiny R}}{\gets}}}
\newcommand{\Exp}{\mathop{\mathrm E}\displaylimits} % expectation
\newcommand{\Var}{\mathop{\mathrm Var}\displaylimits} % variance
\newcommand{\xor}{\oplus}
\newcommand{\GF}{\mathrm{GF}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\notag
$
$
\newcommand{\class}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\coclass}[1]{\mathbf{co\mbox{-}#1}} % and their complements
\newcommand{\BPP}{\class{BPP}}
\newcommand{\NP}{\class{NP}}
\newcommand{\RP}{\class{RP}}
\newcommand{\coRP}{\coclass{RP}}
\newcommand{\ZPP}{\class{ZPP}}
\newcommand{\BQP}{\class{BQP}}
\newcommand{\FP}{\class{FP}}
\newcommand{\QP}{\class{QuasiP}}
\newcommand{\VF}{\class{VF}}
\newcommand{\VBP}{\class{VBP}}
\newcommand{\VP}{\class{VP}}
\newcommand{\VNP}{\class{VNP}}
\newcommand{\RNC}{\class{RNC}}
\newcommand{\RL}{\class{RL}}
\newcommand{\BPL}{\class{BPL}}
\newcommand{\coRL}{\coclass{RL}}
\newcommand{\IP}{\class{IP}}
\newcommand{\AM}{\class{AM}}
\newcommand{\MA}{\class{MA}}
\newcommand{\QMA}{\class{QMA}}
\newcommand{\SBP}{\class{SBP}}
\newcommand{\coAM}{\class{coAM}}
\newcommand{\coMA}{\class{coMA}}
\renewcommand{\P}{\class{P}}
\newcommand\prBPP{\class{prBPP}}
\newcommand\prRP{\class{prRP}}
\newcommand\prP{\class{prP}}
\newcommand{\Ppoly}{\class{P/poly}}
\newcommand{\NPpoly}{\class{NP/poly}}
\newcommand{\coNPpoly}{\class{coNP/poly}}
\newcommand{\DTIME}{\class{DTIME}}
\newcommand{\TIME}{\class{TIME}}
\newcommand{\SIZE}{\class{SIZE}}
\newcommand{\SPACE}{\class{SPACE}}
\newcommand{\ETIME}{\class{E}}
\newcommand{\BPTIME}{\class{BPTIME}}
\newcommand{\RPTIME}{\class{RPTIME}}
\newcommand{\ZPTIME}{\class{ZPTIME}}
\newcommand{\EXP}{\class{EXP}}
\newcommand{\ZPEXP}{\class{ZPEXP}}
\newcommand{\RPEXP}{\class{RPEXP}}
\newcommand{\BPEXP}{\class{BPEXP}}
\newcommand{\SUBEXP}{\class{SUBEXP}}
\newcommand{\NTIME}{\class{NTIME}}
\newcommand{\NL}{\class{NL}}
\renewcommand{\L}{\class{L}}
\newcommand{\NQP}{\class{NQP}}
\newcommand{\NEXP}{\class{NEXP}}
\newcommand{\coNEXP}{\coclass{NEXP}}
\newcommand{\NPSPACE}{\class{NPSPACE}}
\newcommand{\PSPACE}{\class{PSPACE}}
\newcommand{\NSPACE}{\class{NSPACE}}
\newcommand{\coNSPACE}{\coclass{NSPACE}}
\newcommand{\coL}{\coclass{L}}
\newcommand{\coP}{\coclass{P}}
\newcommand{\coNP}{\coclass{NP}}
\newcommand{\coNL}{\coclass{NL}}
\newcommand{\coNPSPACE}{\coclass{NPSPACE}}
\newcommand{\APSPACE}{\class{APSPACE}}
\newcommand{\LINSPACE}{\class{LINSPACE}}
\newcommand{\qP}{\class{\tilde{P}}}
\newcommand{\PH}{\class{PH}}
\newcommand{\EXPSPACE}{\class{EXPSPACE}}
\newcommand{\SigmaTIME}[1]{\class{\Sigma_{#1}TIME}}
\newcommand{\PiTIME}[1]{\class{\Pi_{#1}TIME}}
\newcommand{\SigmaP}[1]{\class{\Sigma_{#1}P}}
\newcommand{\PiP}[1]{\class{\Pi_{#1}P}}
\newcommand{\DeltaP}[1]{\class{\Delta_{#1}P}}
\newcommand{\ATIME}{\class{ATIME}}
\newcommand{\ASPACE}{\class{ASPACE}}
\newcommand{\AP}{\class{AP}}
\newcommand{\AL}{\class{AL}}
\newcommand{\APSPACE}{\class{APSPACE}}
\newcommand{\VNC}[1]{\class{VNC^{#1}}}
\newcommand{\NC}[1]{\class{NC^{#1}}}
\newcommand{\AC}[1]{\class{AC^{#1}}}
\newcommand{\ACC}[1]{\class{ACC^{#1}}}
\newcommand{\TC}[1]{\class{TC^{#1}}}
\newcommand{\ShP}{\class{\# P}}
\newcommand{\PaP}{\class{\oplus P}}
\newcommand{\PCP}{\class{PCP}}
\newcommand{\kMIP}[1]{\class{#1\mbox{-}MIP}}
\newcommand{\MIP}{\class{MIP}}
$
$
\newcommand{\textprob}[1]{\text{#1}}
\newcommand{\mathprob}[1]{\textbf{#1}}
\newcommand{\Satisfiability}{\textprob{Satisfiability}}
\newcommand{\SAT}{\textprob{SAT}}
\newcommand{\TSAT}{\textprob{3SAT}}
\newcommand{\USAT}{\textprob{USAT}}
\newcommand{\UNSAT}{\textprob{UNSAT}}
\newcommand{\QPSAT}{\textprob{QPSAT}}
\newcommand{\TQBF}{\textprob{TQBF}}
\newcommand{\LinProg}{\textprob{Linear Programming}}
\newcommand{\LP}{\mathprob{LP}}
\newcommand{\Factor}{\textprob{Factoring}}
\newcommand{\CircVal}{\textprob{Circuit Value}}
\newcommand{\CVAL}{\mathprob{CVAL}}
\newcommand{\CircSat}{\textprob{Circuit Satisfiability}}
\newcommand{\CSAT}{\textprob{CSAT}}
\newcommand{\CycleCovers}{\textprob{Cycle Covers}}
\newcommand{\MonCircVal}{\textprob{Monotone Circuit Value}}
\newcommand{\Reachability}{\textprob{Reachability}}
\newcommand{\Unreachability}{\textprob{Unreachability}}
\newcommand{\RCH}{\mathprob{RCH}}
\newcommand{\BddHalt}{\textprob{Bounded Halting}}
\newcommand{\BH}{\mathprob{BH}}
\newcommand{\DiscreteLog}{\textprob{Discrete Log}}
\newcommand{\REE}{\mathprob{REE}}
\newcommand{\QBF}{\mathprob{QBF}}
\newcommand{\MCSP}{\mathprob{MCSP}}
\newcommand{\GGEO}{\mathprob{GGEO}}
\newcommand{\CKTMIN}{\mathprob{CKT-MIN}}
\newcommand{\MINCKT}{\mathprob{MIN-CKT}}
\newcommand{\IdentityTest}{\textprob{Identity Testing}}
\newcommand{\Majority}{\textprob{Majority}}
\newcommand{\CountIndSets}{\textprob{\#Independent Sets}}
\newcommand{\Parity}{\textprob{Parity}}
\newcommand{\Clique}{\textprob{Clique}}
\newcommand{\CountCycles}{\textprob{#Cycles}}
\newcommand{\CountPerfMatchings}{\textprob{\#Perfect Matchings}}
\newcommand{\CountMatchings}{\textprob{\#Matchings}}
\newcommand{\CountMatch}{\mathprob{\#Matchings}}
\newcommand{\ECSAT}{\mathprob{E#SAT}}
\newcommand{\ShSAT}{\mathprob{#SAT}}
\newcommand{\ShTSAT}{\mathprob{#3SAT}}
\newcommand{\HamCycle}{\textprob{Hamiltonian Cycle}}
\newcommand{\Permanent}{\textprob{Permanent}}
\newcommand{\ModPermanent}{\textprob{Modular Permanent}}
\newcommand{\GraphNoniso}{\textprob{Graph Nonisomorphism}}
\newcommand{\GI}{\mathprob{GI}}
\newcommand{\GNI}{\mathprob{GNI}}
\newcommand{\GraphIso}{\textprob{Graph Isomorphism}}
\newcommand{\QuantBoolForm}{\textprob{Quantified Boolean
Formulae}}
\newcommand{\GenGeography}{\textprob{Generalized Geography}}
\newcommand{\MAXTSAT}{\mathprob{Max3SAT}}
\newcommand{\GapMaxTSAT}{\mathprob{GapMax3SAT}}
\newcommand{\ELIN}{\mathprob{E3LIN2}}
\newcommand{\CSP}{\mathprob{CSP}}
\newcommand{\Lin}{\mathprob{Lin}}
\newcommand{\ONE}{\mathbf{ONE}}
\newcommand{\ZERO}{\mathbf{ZERO}}
\newcommand{\yes}
\newcommand{\no}
$
Back to blog
Visit Day @ UT Austin
21 Mar 2017
UC Austin是這次參訪的四間學校中最炎熱的一間,幾乎跟台灣有得比。這邊理論CS的老師總共有九位,而且各自做的領域蠻diverse,其中Dana Moshkovitz是我最有興趣也是當初最先聯絡我的老師,而且她的老公Scott Aaronson更是理論CS界的奇葩,是個什麼都做什麼都厲害的人,因此就老師層面而言,UT Austin和Harvard是我主要考慮的兩間。
參訪流水帳
由於錯過了228的正式visit day,所以這次是特別和老師安排在我的其他行程的中間。而非常可惜的是,由於前一個禮拜是spring break,所以超過一半的老師和學生都不在。於是這次拜訪其實只會見到三個老師,還有其中一個是透過Skype。
第一天
從San Diego的飛機在晚間抵達Austin,在機場吃個晚餐後,就使用Austin特有的RideAustin去老師Dana Moshkovitz的家。老師和她老公是上個學期才從MIT轉來UT Austin,所以房子是新的,一進去沒有那種奇怪的美國味,讓我非常開心。而我住的客房實在是令人讚嘆,有一個雙人床和書桌,挑高的屋頂還有獨立衛浴,根本是把旅官和airbnb的優點全部集在一起了。後來聽老師說因為他們家訪客還蠻多,所以特別搞了這樣的房間,而且這個房間的第一個住戶竟然是Boaz Barak,真巧XD
把行李整理一下後,就到樓下和老師聊天。老師現在有個剛滿四歲的女兒,肚子則懷著一個男孩再過幾個禮拜就要出生了。他這幾年主要在做的領域都是和PCP還有UGC等等有關的研究,也是我很想在博班期間嘗試鑽研的方向,於是就和她聊了一下子。由於我還算有些底子,所以比較可以討論一些深入一點的話題,像是就聊了Boaz之前給我看的一篇2-to-1 game的paper。那篇主要是用subspace test的方式想要證明2-to-1 game的hardness,不過Dana的想法是說為什麼不直接面對unique game就好XD然後他也大概跟我解釋一下用subspace game背後的一些intuition,大概是在說subspace是在Gaussian noise下能夠切最大surface的集合之類的,不過我沒有完全理解就是了。他也提了一下他對於UGC的看法,他個人感覺比Boaz悲觀一些,覺得還有很多大家不會的東西,尤其是hardness這邊吧。
第二天
今天八點多起來,沒特別有時差的感覺,然後下樓吃保母Sophie做的早餐,烤土司加奶油和果醬,然後九點多打算先去學校晃晃順便喝杯咖啡。老師家到學校很近,走路十分鐘不到,我就直接走去系館。一大早才九點十點就超熱的,跟台灣差不多,一問之下好像快要90度。UT Austin的CS系館裡面就有一家cafe,而且lobby和周圍有非常多的位子,於是點了杯冰拿鐵,然後坐在戶外休息還有查一下東西準備接下來的meeting。
第一個meeting是跟David Zuckerman,之前讀過他的一篇最新很厲害關於2-source extractors的paper(合作的那個學生現在到IAS做postdoc),因為我對他研究還算知道一些基礎,所以聊沒多久就很難再聊了,畢竟時間很尷尬也不可能討論太細節,而基礎的我都知道。所以後來就問幾個general問題,還有聊了一些他最近做的一些新題目,例如explicitly construct tree code(雖然後來馬上從Dana那邊聽到tree code的小八卦XD)。
聊完後就去跟這邊的Ph.D.生吃中餐,不過很多人現在都不在,所以只有四個跟我去吃,年級都比較小的。因為昨天聽老師說這邊的taco不錯,所以就跟他們說我想吃taco,於是他們就載我去其中一個學生家附近好吃的taco truck。路上就簡單問一些問題,然後閒聊一下,主要後來是他們在聊,我的英文實在跟得很勉強。不過因為只有我一個prospective student,所以致少重心還是在我身上,他們比較會主動問我一些問題。那家taco是真的蠻好吃,尤其是有個牛舌口味的,超讚。
回系館後,我就先再去找Dana討論了一下,有白板所以他講的比較具體一些,提了一個SOS還沒match已知random instance的例子,說也許是個不錯的starting point。只能說這個方向是真的很難,他們這些專家其實也都卡很多年,不會像其他方向比較有機會有穩定的產出。不過我是想說往比較難比較深的題目做的好處是可以看到比較深和廣的東西,藉此多學習,反正理論CS的好處就是其實很多學生一次不會只跟一個教授,高年級一點後還是可以做一些不同的題目。
後來要去跟Dana的一個學生meet,結果他說要忙TA的東西,所以想要晚一點,於是就先跟另外一個做演算法的學生聊。這個學生是個英國人,大學部在Oxford,講話速度超快,還好後來就比較習慣。先聽他說一些他在做的題目,後來就問一些比較general的問題。
接下來的meeting隔了快一小時,所以就在學校晃一下,到老師推薦的一個草坪,可以看到Austin這邊一個很像白宮的東西,那邊蠻多人坐在草皮上休息看書睡覺聊天,我也坐了一下。
三點半和一個做演算法的Eric Prince聊,他是那種一堆奧林匹亞的,而且講話很快,東西懂很多,天才型的。他就把他在做的研究都大致上講一遍,有些跟得上有些略懂而已,總之如果來這應該也可以試試看跟他做一些題目。他的第一個研究又是和GAN有關的(目前三所學校都聽到有老師在說),比較厲害的是他們有些很具體的理論證明結果,而現在也有一些在更加優化的方向。第二個研究則是sketching和sampling的separation,也就是他和那個英國學長做的題目,目前他們是在看counting triangle的數量。第三個研究則是learning polynomial,這我就比較沒有感覺一些。
後來還是找不到Dana的學生,所以就跑去老師推薦的一家咖啡廳,點了杯冰滴,然後看看paper還有看書。跟老師是約他下課接女兒之後,然後我們就去吃一家BBQ。原本預期要花個二十塊以上,結果比想像中便宜一些,食物也是真的還蠻不錯。
參訪心得
沒有參加到正式的visit有好處也有些壞處,好處是可以看到一些平常不會注意到的事情,例如老師有個很調皮的女兒,但壞處就是見到比較少的人。不過如果真的沒辦法參加正式的visit,根據這次的經驗,我會蠻建議還是想辦法聯絡老師去unofficial的visit,很多東西真的是要去了才知道的,而Ph.D.又是佔了人生精華中的五年,這可是要認真把所有可能的選擇都仔細考慮過後。
這次拜訪完UT Austin後,其實是比原本覺得好一點點,主要是在老師的層面。像是Dana就是很好聊的人,而且和另外一個首選的教授(Harvard的Boaz)比起來講話速度比較慢一些,邏輯也比較不會跳太快。而像是David就和想像的差不多,是個和藹可親,很好相處的人。Eric雖然講話和思考速度很快,但是組織性還不錯,至少讓我可以理解的程度還算不錯。再加上Dana在做的領域是我目前最想要做的,所以參訪完後的感覺是把UT Austin排在和Princeton差不多的位子。
不過UT Austin很大的一個缺點是在於,學生素質平均來說還是比較弱一點,然後在做跟我想做的方向的人比較少(至少我遇到的),而且Dana現在有的兩個比較強的學生其實都在MIT。而同屆的學生,跟學長打聽後好像要做complexity的不多,而且我還在拜訪後隔天收到信說我是這屆收的學生中比較優秀的要給我加薪,某種程度就像是在說其他學生不太強,畢竟我在今年theoretical CS申請的學生中,基本上是在前15之外吧。
另外一個有點影響的因素是老師的女兒(還有即將出生的兒子),雖然看她這幾年還是有穩定發質量不錯的paper,但是看到他平常晚上要花這麼多時間和精力照顧小孩(可能還會睡不好必須隔天補眠),就會令人擔心他之後帶學生的時間和品質,畢竟我個人比較不是那麼自幹型的人,還蠻希望可以和指導教授有穩定持續的互動。