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2018 Lower Bounds Program at Simons Insitute
22 Sep 2018
今年秋季Simons Institute的其中一個program是關於計算複雜度的下界問題，這恰巧是我最感興趣的方向。為了抓住夏天的尾巴，不顧開學即在眼前，我匆匆買了機票，到舒服的加州享受太平洋的涼風。
這個program橫跨一學期，包含了四個正式的workshops，還有無數的相關訪問學者以及他們帶來的reading groups和seminars，可以說是把地球上做相關領域一半的專家都吸引了過來。身為一個小小博士生，這正是個好好學習的機會呀！在拜訪的這一個月中，參加了兩個workshops(bootcamp還有boolean devices)還有和一些身邊的visitors交流學習，雖然並不是特別外向到處去認識大老們，不過還是有多多少少在一些互動中增加了不少新的知識還有直覺。最重要的是，在這個眾星雲集的地方，了解了不少最尖端的問題。
身為一個還很菜的研究者，我覺得在做研究中最困難的一步就是找出做得動又重要的問題。一個很常犯的錯誤往往是想一個太過於困難的問題，而前人已經有非常多失敗的原因解釋為什麼現階段的工具不夠用。這並不是說想困難的問題不好，而是說一個研究者要時時刻刻清楚的知道這個問題的定位，哪些方法一定不會成功，然後原因是什麼。一個好的研究題目就是在這些複雜的問題海中，找出既有希望有些突破，又能夠帶來一些後續的影響。
當然，說說總是很容易，這一個月下來聽了無數場的演講還有各種open problems，也說不準有哪些是值得深入研究思考的，大概也是到有人做出來了才會豁然開朗。不過趁著年輕不怕出醜，還是把握這個機會來想想看哪些問題是值得進一步研究下去的。以下整理一些我個人覺得重要或是有機會做得動的open directions，有些明顯是非常困難的long standing problems，不過也許是缺乏人們用力的去不斷想它，是個可以放在心上定期拿出來想想的東西。
Multilinear formula是一個arithmetic circuits中的特例，限制使用formula(每個gate的out-degree是1)，然後每個gate計算的polynomial是multilinear的，也就是每個variable的degree不超過1。例如$x^2yz$不是multilinear但$xz$是。
在沒有multilinear限制時，一般的arithmetic circuit還有formula只有$\Omega(n\log n)$和$\Omega(n^2)$的lower bounds，不過到了multilinear formula時，使用partial derivative matrix的技巧，可以獲得exponential的lower bound。
這樣看似這個方向的問題已經結束了，畢竟我們還是沒有formula的exponential lower bound，看來multilinear把formula弱化太多了，不過事情沒有這麼單純。仔細去看看multilinear formula的lower bounds時，會發現到那些lower bound使用的polynomials，都是比較複雜的polynomials。例如permanent, determinant等，他們本身並沒有已知的polynomial-size的formula(最小的是可以被$O(\log^2n)$-depth的circuit計算)。也就是說，目前人們可以separate一般的circuit還有multilinear formula，但是formula還有multilinear formula之間的強弱關係是還沒有被完全解決的。
這樣有趣的點會是什麼呢？我個人的看法是這會是一個雙贏的局面：如果很意外的formula和multilinear formula的計算能力是差不多的(這大概沒有人相信，不過目前也沒有人可以排除這個情況)，那麼我們將會馬上獲得formula的exponential lower bound，這將會是一個重大的突破。另一方面，如果可以把formula和multilinear formula分開，那某種程度是發現了formula的新強大計算能力，畢竟只有polynomial-size的formula可以計算multilinear formula需要exponential-size才做得到的事情。這樣的發現相信可以幫助我們更了解formula的能力，也許能有更多insight了解為什麼要證明$\omega(n^2)$的formula lower bound是這麼困難的事情。也就是因為這樣雙贏的局面，讓我認為這個問題是重要的。
而這個問題也是我覺得在近期內也許有希望能被解決的。我目前是沒有什麼具體的想法，所以這邊就只簡單整理一下兩個方向的state-of-the-art。
如果要證明formula和multilinear formula的計算能力是差不多的(再次強調，這個方向應該大部分人都覺得不可能)，那麼基本上就是要把一個一般的formula轉成一個multilinear formula並且只有polynomial的size blowup。目前只有Ran Raz在一篇把formula lower bound和tensor rank lower bound扯在一起的文章中，把一般的formula轉成了set-multilinear formula，其中只允許有$\tilde{O}(\log n)$個variable sets(這邊不詳細定義set-multilinear，其實就是規定在同一個set中的variable只能有一個出現，請參考Raz的paper)。如果要證明formula和multilinear formula的計算能力是差不多的，那麼把Raz的$\tilde{O}(\log n)$變成$O(n)$就夠了，不過他的技巧很顯然沒辦法做到這樣。目前也沒有什麼跡象可以做的這樣，即使這個方向是對的，大概也需要蠻多的新想法。
另一個方向則是非常接近了。Suryajith Chillara, Nutan Limaye, Srikanth Srinivasan最近證明了當我們限制formula和multilinear formula的深度是$o(\log n)$時，那麼就會有polynomial-size的formula和multilinear formula的separation。也就是說，如果把他們的$o(\log n)$變成$O(\log n)$就大功告成了。但是為什麼他們就這樣停在門口呢？這就要從他們使用的技術來看起。先說結論，他們的套路是沒辦法突破$o(\log n)$的，除非有些很新的想法。
Suryajith Chillara, Nutan Limaye, Srikanth Srinivasan的做法有兩步：(i)用Ran Raz之前證明exponential multilinear formula lower bound的partial derivative matrix技術證明一個特別的polynomial(其實也沒有那麼特別，是$d$個$2\times 2$的iterative matrix multiplication)在深度$\Delta$的multilinear formula需要大小$exp(d^{1/\Delta})$。(ii)使用有名的GKKS深度節約(depth reduction)技術，證明這個polynomial可以有大小$exp(d^{1/2\Delta})$深度$\Delta$的formula。大家可以把$d$設成$\log^{2\Delta} n$那麼就會有個exponential的separation了。然而，也不難發現$\Delta$必須要比$O(\frac{\log n}{\log\log n})$小不然GKKS得到的formula size也超過polynomial了。而至於為什麼我說他們大概無法突破深度$o(\log n)$的限制，是因為這已經是GKKS能夠給出最好的upper bound了。如果想用同一個polynomial繼續弄下去，必然會需要更厲害的技術，也就等同於要開發出formula更厲害的計算能力。
總結一下這個問題，我個人覺得兩個方向都直得思考一下，畢竟這個問題會卡住，似乎代表著我們對於formula的了解不夠(upper和lower bounds都是)，而無論哪個方向結果都會是有趣的。
Different proof for AC0 lower bounds?
$\AC{0}$是一個經典的circuit class，包含了所有(polynomial-size的)contant depth且unbounded fan-in的circuits。$\AC{0]}$基本上是最所有non-trivial的circuit classes中最簡單的一個，早在三十年前就已經有exponential的lower bound存在。事實上，這個lower bound：$PARITY\notin\AC{0}$是目前已知對於$\AC{0}$最好的一個lower bound。具體來說，對於深度$d\geq0$的$\AC{0}$ circuit來說，需要$2^{\Omega(n^{1/(d-1)})}$個gates來計算PARITY。
當深度$d=2$時，PARITY的$\AC{0}$ lower bound是$2^{\Omega(n)}$，這又被稱為strong exponential lower bound。然而當$d>2$的時候，這個lower bound就變得不夠強了，例如當$d=3$，只有$2^{\Omega(\sqrt{n})}$。同時對於PARITY來說，這個lower bound是緊的，也就是說對於深度$d>2$的$\AC{0}$來說，無法用PARITY獲得strong exponential lower bound。
更悲慘的是，目前已知證明$\AC{0}$ lower bounds的技術很侷限於兩種：(1)隨機限縮法(random restriction)還有(2)多項式逼近法(polynomial approximation)。基本上PARITY是這兩種方法可以獲得最強lower bound的候選人了，雖然我們看似很了解$\AC{0}$，但是我們真的那麼了解嗎？有沒有可能找出新的證明$\AC{0}$ lower bound的方式？此外，有沒有除了PARITY以外的$\AC{0}$strong lower bound候選人？
目前我也是完全沒有什麼具體想法，一個潛在想要了解的方向是隨機限縮法的極限在哪。畢竟PARITY的lower bound是用最基本的一個隨機限縮法就做到了，如果使用一些比較花俏的限縮方式，Benjamin Rossman有個$k$-clique的exponential lower bound。有沒有辦法用比較複雜一點的隨機限縮法得到$\AC{0}$的strong exponential lower bound？或是能夠說明隨機限縮法做不到？
Updates: 這幾天又多看了一些書，學到了一些針對三層$\AC{0}$的相關結果。如上面所說目前三層$\AC{0}$最好的lower bound是$2^{\Omega(\sqrt{n})}$，Valiant多年前的一個結果說了如果可以把這個lower bound改進到$2^{\Omega(n/\log\log n)}$，那麼就會有個$O(\log n)$深度的$\omega(n)$ circuit lower bound。這個lower bound是證明$\NP\not\subseteq\Ppoly$的必經之路，但是還離目前大家會證的lower bound差很遠。
而三層$\AC{0}$的lower bound也不是完全沒有潛在的方法，一個古早的做法是考慮圖的複雜度(graph complexity)。例如如果可以證明對於所有$D$，每個$D$-regular的$K_{2,2}$-free圖，都需要$D^{\Omega(1)}$個independent set才能覆蓋所有的邊，那麼就可以得到$2^{\Omega(n)}$的三層$\AC{0}$ lower bound。
Depth-2 threshold circuits lower bounds?
目前boolean circuit lower bound的最前戰線被拉到了深度2的threshold circuits。在這邊threshold circuit是指所有的gate都是長得像下面這個樣子：
\begin{equation}
g(x) = sgn(\sum_{i\in[n]}w_i\cdot x_i-t)
\end{equation}
其中$sgn(X)$是$X$的正負號，然後$w_i$還有$t$是一些整數。當$w_i$還有$t$的大小是polynomial in $n$，那麼我們稱$g$為一個majority gate，不是的話稱為threshold gate。
To be continued…