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WACT 2019 at Bengaluru, India
30 Mar 2019
這個春假(其實是春假後的一個禮拜)很榮幸地受到Mrinal還有Ramprasad的邀請，到了印度的班加羅爾(Bengaluru)參加今年的Workshop of Algebraic Complexity Theory (WACT 2019)。這是我第一次參加WACT，也是第一次來到印度，這個充滿神秘色彩的國度。一週的拜訪下來，無論是在學術上或是對於印度的印象上，都有了許多新的看法。回想起上週出發前還在那邊窮緊張的模樣，不禁感嘆，事情還是要親身經歷過後，才會有更真實的感受。
印度對於台灣人(甚至是整個東亞)來說，是個非常陌生的地方。從小接受到的資訊，不外乎那邊是個很落後，貧富差距很大，亂糟糟很危險的地方。唯一比較正面的印象，大概就是印度人的數學都特別好，尤其是代數方面，也很巧的是這趟旅行就是因為一個代數複雜度的workshop，讓我親身改變了過去這些不知道經過多少手資訊的落後印象。不過還是要先聲明一下，這一次我大部分的時間都是待在位於班加羅爾市中心北邊兩小時車程的International Centre of Theoretical Science (ICTS)裡面，除此之外，只有一個晚上到了稍微市區一點的Institute of Science (IISc)一帶，加上接觸到的人幾乎都是這邊的菁英，所以想必我接受到的資訊會比較biased一些。
多元、複雜和混亂的社會
印度總人口十三億，全國劃分為29個邦，主要使用的語言除了英文之外還有印地語(Hindi)等等超過二十種被廣泛使用，常見的宗教更是五花八門(還記得在申請visa的時候，宗教的欄位有十幾二十個可以選，唯獨沒有“無信仰”這個選項…)。一位印度小哥曾經跟我說，大概每隔個五十公里，村落之間的語言使用方法就會稍微的不同。再加上五百年前(有些說法是兩千年前)開始的種姓制度(19世紀末取消)以及英國的殖民(1947才結束)，印度是一個如此多元、複雜和混亂的社會。然而就像在印度街頭不時能看見計程車驚險環生卻又平安無事，整個印度社會在現行的民主制度下，套句Mrinal最愛說的一句話：『somehow everything works out』。
老實說，印度的確是我目前去過最混亂的地方，但是也沒有想傳言中的那般恐怖，至少一週下來我沒有拉過一次肚子，在街頭也沒有被奇怪的人騷擾，不像在美國街頭還會被流浪漢大吼。雖然在機場看到配著長槍的軍人，還有從超市出來前要被檢查有沒有偷東西，讓人還是覺得有點稍微被侵犯到，站在他們多元複雜的背景下重新評量這個國家，還是不得不驚嘆現在這個平衡。
令人驚嘆的高等教育環境
這次WACT的與會人員中，大約有一半是在印度各地頂尖學校的博士生。首先讓我很驚訝的是竟然大部分頂尖的學校，都一定會有做代數複雜度的老師和學生，光是在WACT就遇到至少30個博士生專精在代數複雜度，而反觀美國，全部加起來可能十個不到吧…而更讓我驚嘆的是老師和學生之間的關係。就我這次遇到的幾個例子中(Nitin Saxena, Chandon Saha, Ramprasad)，老師和學生之間的互動讓人可以很感受到一種“知識傳承”的感覺。不像在美國，大部分的教授(至少是我經驗到的)和學生的關係比較平行一點，即使一起做同一個研究，老師比較會把學生當成合作者看待，你必須要自己想辦法把相關的背景知識補起來。而在這邊聽到了好多例子，老師會每個禮拜花好幾個小時，教導學生特定的相關數學知識。此外也會從頭教學生改怎麼樣問出好的研究問題，在學生要報告之前花一個晚上幫學生練習。在這樣的環境下，印度每年都可以解出非常頂尖的問題，並且培養大量的本土優秀學術人才。雖然外流到美國的比例仍然不少，但是至少在代數複雜度這個領域中，在印度本土接受到的訓練是絕對不遜色於其他地方的。
除了令人稱羨師徒的關係之外，這邊對於基礎科學的投資和重視，更是讓人自相形穢。印度有著為數不少的純高等教育機構，像是這次拜訪的ICTS，或是有名的Chennai Mathematical Institute (CMI)和Tata Institute of Fundamental Research (TIFR)。這些機構提供非常完善的校園，然後有著非常多的workshop或是conference，鼓勵基礎的理論研究。有點類似於台灣的中研院，但是更加重視純理論的研究，不像在台灣做理論還不時會被嘲弄…
以這次WACT舉辦地ICTS來說，是個兩年前剛建好的小校區。不知道是不是故意設在有點荒郊野外的地方(要搭45分鐘的交通車才能到稍微熱鬧點的地方)，讓拜訪者被困在校區中，只好不斷地討論研究。隨然周邊無聊了一些，但是校區還算五臟俱全，餐廳提供極度便宜的三餐(大約新台幣20塊就可以讓你吃到撐)，也有著運動中心，可以打羽球桌球壁球游泳。甚至還有小型足球和板球場，圖書館和演講廳也都沒有少。至少是個會讓人即使被困住了，還是可以心甘情願的地方。真希望哪一天台灣也可以有像這樣的地方…
WACT
前面講了這麼多和workshop無關的心得，最終還是該回來談談正事XD
WACT是一個專精在代數複雜度的一個workshop，從2013年創辦至今，每年在丹麥、德國、以色列、印度等地輪流舉辦。和之前我參加過的workshop(e.g., CMSA的combinatorics workshop, Simons的lower bound workshop, Oxford的complexity theory workshop)很不同的是，WACT的學生比例比較高，演講的講者也比較年輕，只有少數幾個是很senior的教授。蠻讓我佩服的是，雖然參加人看起來沒有很diverse，但是演講的主題可是涵括了代數複雜度相關的各種子領域，從各式各樣的arithmetic circuits問題，到geometric complexity theory (GCT)，還有univariate polynomial factorization等等。雖然不是每個talk都可以聽得很懂，但是至少在這個workshop之後，又對整個代數複雜度的領域更有了一些概念。
不過我畢竟還是從比較離散的領域出來的，所以還是對arithmetic circuits相關的talks比較有共鳴。像是第一天幾個關於read once arithmetic branching program (ROABP)的talks就學到了蠻多。另外幾個multilinear circuits的talks稍微有點technical所以比較沒有很跟得上，但是至少能夠大概了解目前最前端的問題是卡在哪裡。至於其他不太熟悉的領域像是GCT，目前打算接下來一兩年好好在Harvard修一些代數幾何和representation theory的課，把基礎打起來，說不定三五年後可以考慮做做看相關的題目。
而五天下來，有蒐集到一些感興趣的方向，在這邊簡單記錄一下以免自己忘記XD
Srikanth還有Nutan等人在去年FOCS有了一篇separate深度$O(\log n/\log\log n)$multilinear formula和formula的paper。他們分析了constant width的iterated multiplication matrix (IMM)然後得出一個$2^{n^{1/\Delta}}$對於深度$\Delta$的multilinear formula lower bound。而經典的GKKS depth reduction有一個$2^{n^{1/2\Delta}}$深度$\Delta$的formula upper bound。在這個work之後一個很自然的問題便是有沒有辦法在$O(\log n)$深度範圍也給出super polynomial的separation。
很顯然constant width的IMM無法成為candidate，如果把width加大一點，那麼基本上就是考慮determinant，如果能夠把determinant目前的$n^{O(\log n)}$formula upper bound改進到$n^{o(\log n)}$那麼就成功了。然而在跟Srikanth聊了過後，他覺得determinant的確有可能是個candidate，但是要改進determinant的upper bound很有可能會是一個更困難的問題，畢竟這基本上是在挑戰$\VF=\VBP$。而他個人覺得一個可能的方向是利用GKKS中的幾個元素，例如Ryser-Fischer identity和duality trick，來構造特殊的polynomial。不過目前沒有什麼想法就是了。
Design polynomial
IISc的一個學生Nikhil Gupta報告了一些關於design polynomial的相關問題，感覺還蠻值得想想的。讓我相定義一下他使用的Nisan-Wigderson design polynomial。有三個參數：degree $k$, field size $q$和set size $n$，對應的Nisan-Wigderson design polynomial定義如下
\[NW_{k,q,n}\sum_{p\in\mathbb{F}_q,\deg(p)\leq k}\prod_{i=1}^nX_{i,p(i)} \, .\]
所以總共有$nq$個變數然後$NW_{k,q,n}$是個monotone的multilinear polynomial而且每個monomial最多共用$k$個變數。
有兩個相關的問題是讓我蠻感興趣的，分別是compression問題和0/1 testing問題。Compression問題是在問有沒有比最直接的size $\poly(q^k,n)$ circuit更小的circuit computes $NW_{k,q,n}$。目前我有個想法是用比較小的field拼湊出大的field的NW polynomial，不過每一部的blow up有點太大，需要$q^n$比原本的還慘。而這個blow up主要是來自於interpolation，所以我在想有沒有辦法用border complexity的技巧改進一下。
另外一個問題是0/1 testing，input是$\mathbf{a}\in\mathbb{F}_q^n$，然後目標是要回答$NW_{k,q,n}(\mathbf{a})$是不是0。這個問題明顯在$\NP$，但是不太可能是$\NP$-hard(否則會prove $\VP\neq\VNP$)，然後如果能證明是在$\coNP$的話有些hardness amplification的應用。感覺蠻值得想想看$\coMA$或是$\coNPpoly$這個方向。不過像在還沒有什麼想法就是了。
Depth two symmetric linear circuits
另外一個很有趣的問題是關於depth two symmetric linear circuits。這個等價於sparse matrix factorization問題定義如下。Given $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$，目標找到$B\in\mathbb{F}^{n\times m}$和$C\in\mathbb{F}^{m\times n}$使得$A=BC$，而且$|B|_0+|C|_0$越小越好。這對應到了$A$的depth two linear circuit complexity，而目前最好的explicit lower bound只有$\Omega(n\log^2n/\log^2\log n)$）(trivial的upper bound是$O(n^2)$)。而Mrinal和Ben Lee他們考慮$B=C^\top$的情況，定義了相對應的depth two symmetric linear circuits，並且證明了$\Omega(n^2)$的lower bound在$\R$或是很大的finite field。
證明本身蠻可愛的，不過似乎只會對夠大的field才會成立，所以一個有趣的方向是看看小的field會不會也成立，目前試了一下沒有什麼結果。而主要的動機是想要separate depth two symmetric linear circuits和depth two linear circuits。尤其是因為Gal et. al.有個error correcting code的construction可以被size $O(n\log^2n)$的depth two linear circuits計算，加上Mrinal他們lower bound的構造基本上是用一些linear error correcting code，這邊說不定有些東西可以玩玩看。
