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Ph.D. 第二年心得
21 Jul 2019
(See here for an English version)
在Harvard的第二年轉眼間就結束了，暑假也過了一半，很快的Ph.D.生涯也要越過中線。看看現在的自己也許小有成長，但是完完全全不足原本對自己的期待。在今年暑假的CCC(Computational Complexity Conference)中和好友Lijie聊了很多，聽他給了很多建議，雖然不見得完全適用，不過在剩下的時間，我是該好好重新思考策略和方向了。
這一年做了什麼？
回想起來這一年實在是個蠻受挫的一年，在生活上遇到的打擊影響到了研究的心力與時間，而研究上方向的選擇也有點不太理想，無論是成果或是學到的東西似乎都不太及格。
這一年在研究上除了一些小分枝外，主要專注在代數複雜度(algebraic complexity)的方向，尤其是matrix rigidity還有border Waring rank這兩個問題。前者是將一個組合性質的問題(circuit lower bound)轉換成一個具有代數結構的問題，目標是要找到一個和low rank matrices在$\ell_0$ norm上很遠的矩陣，這樣的構造會得到logarithmic深度的super-linear circuit lower bound。我非常的喜歡matrix rigidity這個概念，因為它把一個看似可以很複雜任意的結構(i.e., circuits)轉換成了很方便思考分析的代數問題。然而matrix rigidity被提出將近50年以來，在領域之內一直沒有非常重大的突破。這一年來我和合作者Sasha嘗試了好幾種思路，也慢慢降低我們的標準到比較差一點的參數，然而總感覺還是只有在問題的表面划水。至於border Waring rank的研究，起初是因為感覺裡面的數學挺有意思的，於是花了一個學期上課把representation theory學起來，終於把想看的paper看懂，但是同時又發現似乎要在懂更多的數學(lie algebra, algebraic geometry etc.)才有能力在這個方向有些貢獻。
回想起來，覺得自己當初太只有根據對於一個問題的喜好來決定是否要深入研究，而忽略了自己或是身邊的人有沒有相對應的能力。就像Lijie說的：「這個問題憑什麼是被你解出來的？」，我除了時間比那些很忙的大老們多之外，還有什麼其他的優勢？
給自己的定位
於是這就回到給自己的定位是什麼了。每個不同的研究者，都有各自的強項和弱項，有些人擅長high-level的直覺，有些人擅長複雜的計算，有些人懂得各式各樣的數學工具，有些人則可能像我一樣什麼都不太行…不過話說回來，對一個Ph.D.學生來說什麼都不行是很正常的，然而到了畢業的時候就不能再這樣了，至少要在一種能力上是頂尖的，才有可能在學界生存下來。於是一個很重要的問題就是，在Ph.D.的這段期間，我想要培養哪一種能力？然後我該如何去培養？
以我個人來說，從大學時期我給自己的設定就是建立廣的知識庫，無論是在TCS或是數學，然後同時可以具有一兩個專精的小方向，熟知那些方向的技術以及問題。目前看來在這兩個不同的軸向我都做得沒有很成功，在廣度方面，我自認接觸的還算多，不過內化的程度並不是很好，很多東西都還是停留在「聽過，知道些名詞，但是沒辦法和別人進行太多有意義的討論」的階段。而在深度方面，我想要專精的子領域是arithmetic circuits和boolean circuits，然而在這兩個方向上我都還停留在「知道許多重要結果，懂大約的證明思路，但是無法信手捻來，更不用說問出有意思的新問題」。
所以其實話說回來，我一直隱隱約約定位了自己的方向，然而問題出在我沒有把自己推往這個方向，而是常常因為偷懶或是被其他東西吸引，而偏離了主要的軸心。在所剩不多的時間，我該好好思考該怎麼樣把自己推回想要的道路上了。
下一步
培養個人能力和研究是需要兼顧的，也正因為如此，在選擇要投入大量時間的研究時，更要謹慎地做出決定。像是我在第二年專攻的這兩個方向，都有點太過細微，只是解決一個大問題中的一個特殊approach，並不見得刻畫了大問題的面貌，在技術方面也很綁手綁腳。
既然主要想要專攻的方向是arithmetic circuits和boolean circuits，其實最主要的就是那幾個核心問題：lower bounds, derandomization等等，而其中又分為各式各樣不同的circuit models，各自有自己的frontier。對於現在的我來說，對於大部分的state-of-the-art結果，其實都只有些模糊的概念，無法準確地理解困難點在哪裡，然後有什麼潛在可以問的問題。所以一個要盡快完成的重要功課，就是好好的看書讀paper把這些東西抓起來吧。也希望自己趕快恢復當年勤奮寫notes的狀態，好好的內化這些技術，建立自己的知識庫，而不是腦中只有一團混在一起的概念而已。
除此之外，心理素質的養成也是很重要的。TCS其實還是個讓人挺有壓力的領域，畢竟非常厲害的人實在太多了，大家速度又非常的快。要如何不要太受影響，並且還是持續讓自己不斷推進，更是得要想清楚定位，而且不能封閉自己，要適當地與其他人交流學習。天呀，我真是覺得走這條路實在是個很自虐的選擇，不過成就感和滿足感也是特別的大。人生就這麼一次，就不要給自己後路，好好的拼下去了吧！