$
\newcommand{\undefined}{}
\newcommand{\hfill}{}
\newcommand{\qedhere}{\square}
\newcommand{\qed}{\square}
\newcommand{\ensuremath}[1]{#1}
\newcommand{\bit}{\{0,1\}}
\newcommand{\Bit}{\{-1,1\}}
\newcommand{\Stab}{\mathbf{Stab}}
\newcommand{\NS}{\mathbf{NS}}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\Var}{\mathbf{Var}}
\newcommand{\dist}{\text{dist}}
\newcommand{\norm}[1]{\\|#1\\|}
\newcommand{\etal}
\newcommand{\ie}
\newcommand{\eg}
\newcommand{\cf}
\newcommand{\rank}{\text{rank}}
\newcommand{\tr}{\text{tr}}
\newcommand{\mor}{\text{Mor}}
\newcommand{\hom}{\text{Hom}}
\newcommand{\id}{\text{id}}
\newcommand{\obj}{\text{obj}}
\newcommand{\pr}{\text{pr}}
\newcommand{\ker}{\text{ker}}
\newcommand{\coker}{\text{coker}}
\newcommand{\im}{\text{im}}
\newcommand{\vol}{\text{vol}}
\newcommand{\disc}{\text{disc}}
\newcommand{\bbA}{\mathbb A}
\newcommand{\bbB}{\mathbb B}
\newcommand{\bbC}{\mathbb C}
\newcommand{\bbD}{\mathbb D}
\newcommand{\bbE}{\mathbb E}
\newcommand{\bbF}{\mathbb F}
\newcommand{\bbG}{\mathbb G}
\newcommand{\bbH}{\mathbb H}
\newcommand{\bbI}{\mathbb I}
\newcommand{\bbJ}{\mathbb J}
\newcommand{\bbK}{\mathbb K}
\newcommand{\bbL}{\mathbb L}
\newcommand{\bbM}{\mathbb M}
\newcommand{\bbN}{\mathbb N}
\newcommand{\bbO}{\mathbb O}
\newcommand{\bbP}{\mathbb P}
\newcommand{\bbQ}{\mathbb Q}
\newcommand{\bbR}{\mathbb R}
\newcommand{\bbS}{\mathbb S}
\newcommand{\bbT}{\mathbb T}
\newcommand{\bbU}{\mathbb U}
\newcommand{\bbV}{\mathbb V}
\newcommand{\bbW}{\mathbb W}
\newcommand{\bbX}{\mathbb X}
\newcommand{\bbY}{\mathbb Y}
\newcommand{\bbZ}{\mathbb Z}
\newcommand{\sA}{\mathscr A}
\newcommand{\sB}{\mathscr B}
\newcommand{\sC}{\mathscr C}
\newcommand{\sD}{\mathscr D}
\newcommand{\sE}{\mathscr E}
\newcommand{\sF}{\mathscr F}
\newcommand{\sG}{\mathscr G}
\newcommand{\sH}{\mathscr H}
\newcommand{\sI}{\mathscr I}
\newcommand{\sJ}{\mathscr J}
\newcommand{\sK}{\mathscr K}
\newcommand{\sL}{\mathscr L}
\newcommand{\sM}{\mathscr M}
\newcommand{\sN}{\mathscr N}
\newcommand{\sO}{\mathscr O}
\newcommand{\sP}{\mathscr P}
\newcommand{\sQ}{\mathscr Q}
\newcommand{\sR}{\mathscr R}
\newcommand{\sS}{\mathscr S}
\newcommand{\sT}{\mathscr T}
\newcommand{\sU}{\mathscr U}
\newcommand{\sV}{\mathscr V}
\newcommand{\sW}{\mathscr W}
\newcommand{\sX}{\mathscr X}
\newcommand{\sY}{\mathscr Y}
\newcommand{\sZ}{\mathscr Z}
\newcommand{\sfA}{\mathsf A}
\newcommand{\sfB}{\mathsf B}
\newcommand{\sfC}{\mathsf C}
\newcommand{\sfD}{\mathsf D}
\newcommand{\sfE}{\mathsf E}
\newcommand{\sfF}{\mathsf F}
\newcommand{\sfG}{\mathsf G}
\newcommand{\sfH}{\mathsf H}
\newcommand{\sfI}{\mathsf I}
\newcommand{\sfJ}{\mathsf J}
\newcommand{\sfK}{\mathsf K}
\newcommand{\sfL}{\mathsf L}
\newcommand{\sfM}{\mathsf M}
\newcommand{\sfN}{\mathsf N}
\newcommand{\sfO}{\mathsf O}
\newcommand{\sfP}{\mathsf P}
\newcommand{\sfQ}{\mathsf Q}
\newcommand{\sfR}{\mathsf R}
\newcommand{\sfS}{\mathsf S}
\newcommand{\sfT}{\mathsf T}
\newcommand{\sfU}{\mathsf U}
\newcommand{\sfV}{\mathsf V}
\newcommand{\sfW}{\mathsf W}
\newcommand{\sfX}{\mathsf X}
\newcommand{\sfY}{\mathsf Y}
\newcommand{\sfZ}{\mathsf Z}
\newcommand{\cA}{\mathcal A}
\newcommand{\cB}{\mathcal B}
\newcommand{\cC}{\mathcal C}
\newcommand{\cD}{\mathcal D}
\newcommand{\cE}{\mathcal E}
\newcommand{\cF}{\mathcal F}
\newcommand{\cG}{\mathcal G}
\newcommand{\cH}{\mathcal H}
\newcommand{\cI}{\mathcal I}
\newcommand{\cJ}{\mathcal J}
\newcommand{\cK}{\mathcal K}
\newcommand{\cL}{\mathcal L}
\newcommand{\cM}{\mathcal M}
\newcommand{\cN}{\mathcal N}
\newcommand{\cO}{\mathcal O}
\newcommand{\cP}{\mathcal P}
\newcommand{\cQ}{\mathcal Q}
\newcommand{\cR}{\mathcal R}
\newcommand{\cS}{\mathcal S}
\newcommand{\cT}{\mathcal T}
\newcommand{\cU}{\mathcal U}
\newcommand{\cV}{\mathcal V}
\newcommand{\cW}{\mathcal W}
\newcommand{\cX}{\mathcal X}
\newcommand{\cY}{\mathcal Y}
\newcommand{\cZ}{\mathcal Z}
\newcommand{\bfA}{\mathbf A}
\newcommand{\bfB}{\mathbf B}
\newcommand{\bfC}{\mathbf C}
\newcommand{\bfD}{\mathbf D}
\newcommand{\bfE}{\mathbf E}
\newcommand{\bfF}{\mathbf F}
\newcommand{\bfG}{\mathbf G}
\newcommand{\bfH}{\mathbf H}
\newcommand{\bfI}{\mathbf I}
\newcommand{\bfJ}{\mathbf J}
\newcommand{\bfK}{\mathbf K}
\newcommand{\bfL}{\mathbf L}
\newcommand{\bfM}{\mathbf M}
\newcommand{\bfN}{\mathbf N}
\newcommand{\bfO}{\mathbf O}
\newcommand{\bfP}{\mathbf P}
\newcommand{\bfQ}{\mathbf Q}
\newcommand{\bfR}{\mathbf R}
\newcommand{\bfS}{\mathbf S}
\newcommand{\bfT}{\mathbf T}
\newcommand{\bfU}{\mathbf U}
\newcommand{\bfV}{\mathbf V}
\newcommand{\bfW}{\mathbf W}
\newcommand{\bfX}{\mathbf X}
\newcommand{\bfY}{\mathbf Y}
\newcommand{\bfZ}{\mathbf Z}
\newcommand{\rmA}{\mathrm A}
\newcommand{\rmB}{\mathrm B}
\newcommand{\rmC}{\mathrm C}
\newcommand{\rmD}{\mathrm D}
\newcommand{\rmE}{\mathrm E}
\newcommand{\rmF}{\mathrm F}
\newcommand{\rmG}{\mathrm G}
\newcommand{\rmH}{\mathrm H}
\newcommand{\rmI}{\mathrm I}
\newcommand{\rmJ}{\mathrm J}
\newcommand{\rmK}{\mathrm K}
\newcommand{\rmL}{\mathrm L}
\newcommand{\rmM}{\mathrm M}
\newcommand{\rmN}{\mathrm N}
\newcommand{\rmO}{\mathrm O}
\newcommand{\rmP}{\mathrm P}
\newcommand{\rmQ}{\mathrm Q}
\newcommand{\rmR}{\mathrm R}
\newcommand{\rmS}{\mathrm S}
\newcommand{\rmT}{\mathrm T}
\newcommand{\rmU}{\mathrm U}
\newcommand{\rmV}{\mathrm V}
\newcommand{\rmW}{\mathrm W}
\newcommand{\rmX}{\mathrm X}
\newcommand{\rmY}{\mathrm Y}
\newcommand{\rmZ}{\mathrm Z}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\paren}[1]{( #1 )}
\newcommand{\Paren}[1]{\left( #1 \right)}
\newcommand{\bigparen}[1]{\bigl( #1 \bigr)}
\newcommand{\Bigparen}[1]{\Bigl( #1 \Bigr)}
\newcommand{\biggparen}[1]{\biggl( #1 \biggr)}
\newcommand{\Biggparen}[1]{\Biggl( #1 \Biggr)}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert #1 \rvert}
\newcommand{\Abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\bigabs}[1]{\bigl\lvert #1 \bigr\rvert}
\newcommand{\Bigabs}[1]{\Bigl\lvert #1 \Bigr\rvert}
\newcommand{\biggabs}[1]{\biggl\lvert #1 \biggr\rvert}
\newcommand{\Biggabs}[1]{\Biggl\lvert #1 \Biggr\rvert}
\newcommand{\card}[1]{\left| #1 \right|}
\newcommand{\Card}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\bigcard}[1]{\bigl\lvert #1 \bigr\rvert}
\newcommand{\Bigcard}[1]{\Bigl\lvert #1 \Bigr\rvert}
\newcommand{\biggcard}[1]{\biggl\lvert #1 \biggr\rvert}
\newcommand{\Biggcard}[1]{\Biggl\lvert #1 \Biggr\rvert}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\bignorm}[1]{\bigl\lVert #1 \bigr\rVert}
\newcommand{\Bignorm}[1]{\Bigl\lVert #1 \Bigr\rVert}
\newcommand{\biggnorm}[1]{\biggl\lVert #1 \biggr\rVert}
\newcommand{\Biggnorm}[1]{\Biggl\lVert #1 \Biggr\rVert}
\newcommand{\iprod}[1]{\langle #1 \rangle}
\newcommand{\Iprod}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}
\newcommand{\bigiprod}[1]{\bigl\langle #1 \bigr\rangle}
\newcommand{\Bigiprod}[1]{\Bigl\langle #1 \Bigr\rangle}
\newcommand{\biggiprod}[1]{\biggl\langle #1 \biggr\rangle}
\newcommand{\Biggiprod}[1]{\Biggl\langle #1 \Biggr\rangle}
\newcommand{\set}[1]{\lbrace #1 \rbrace}
\newcommand{\Set}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}
\newcommand{\bigset}[1]{\bigl\lbrace #1 \bigr\rbrace}
\newcommand{\Bigset}[1]{\Bigl\lbrace #1 \Bigr\rbrace}
\newcommand{\biggset}[1]{\biggl\lbrace #1 \biggr\rbrace}
\newcommand{\Biggset}[1]{\Biggl\lbrace #1 \Biggr\rbrace}
\newcommand{\bracket}[1]{\lbrack #1 \rbrack}
\newcommand{\Bracket}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}
\newcommand{\bigbracket}[1]{\bigl\lbrack #1 \bigr\rbrack}
\newcommand{\Bigbracket}[1]{\Bigl\lbrack #1 \Bigr\rbrack}
\newcommand{\biggbracket}[1]{\biggl\lbrack #1 \biggr\rbrack}
\newcommand{\Biggbracket}[1]{\Biggl\lbrack #1 \Biggr\rbrack}
\newcommand{\ucorner}[1]{\ulcorner #1 \urcorner}
\newcommand{\Ucorner}[1]{\left\ulcorner #1 \right\urcorner}
\newcommand{\bigucorner}[1]{\bigl\ulcorner #1 \bigr\urcorner}
\newcommand{\Bigucorner}[1]{\Bigl\ulcorner #1 \Bigr\urcorner}
\newcommand{\biggucorner}[1]{\biggl\ulcorner #1 \biggr\urcorner}
\newcommand{\Biggucorner}[1]{\Biggl\ulcorner #1 \Biggr\urcorner}
\newcommand{\ceil}[1]{\lceil #1 \rceil}
\newcommand{\Ceil}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand{\bigceil}[1]{\bigl\lceil #1 \bigr\rceil}
\newcommand{\Bigceil}[1]{\Bigl\lceil #1 \Bigr\rceil}
\newcommand{\biggceil}[1]{\biggl\lceil #1 \biggr\rceil}
\newcommand{\Biggceil}[1]{\Biggl\lceil #1 \Biggr\rceil}
\newcommand{\floor}[1]{\lfloor #1 \rfloor}
\newcommand{\Floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
\newcommand{\bigfloor}[1]{\bigl\lfloor #1 \bigr\rfloor}
\newcommand{\Bigfloor}[1]{\Bigl\lfloor #1 \Bigr\rfloor}
\newcommand{\biggfloor}[1]{\biggl\lfloor #1 \biggr\rfloor}
\newcommand{\Biggfloor}[1]{\Biggl\lfloor #1 \Biggr\rfloor}
\newcommand{\lcorner}[1]{\llcorner #1 \lrcorner}
\newcommand{\Lcorner}[1]{\left\llcorner #1 \right\lrcorner}
\newcommand{\biglcorner}[1]{\bigl\llcorner #1 \bigr\lrcorner}
\newcommand{\Biglcorner}[1]{\Bigl\llcorner #1 \Bigr\lrcorner}
\newcommand{\bigglcorner}[1]{\biggl\llcorner #1 \biggr\lrcorner}
\newcommand{\Bigglcorner}[1]{\Biggl\llcorner #1 \Biggr\lrcorner}
\newcommand{\ket}[1]{| #1 \rangle}
\newcommand{\bra}[1]{\langle #1 |}
\newcommand{\braket}[2]{\langle #1 | #2 \rangle}
\newcommand{\ketbra}[1]{| #1 \rangle\langle #1 |}
\newcommand{\e}{\varepsilon}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\from}{\colon}
\newcommand{\super}[2]{#1^{(#2)}}
\newcommand{\varsuper}[2]{#1^{\scriptscriptstyle (#2)}}
\newcommand{\tensor}{\otimes}
\newcommand{\eset}{\emptyset}
\newcommand{\sse}{\subseteq}
\newcommand{\sst}{\substack}
\newcommand{\ot}{\otimes}
\newcommand{\Esst}[1]{\bbE_{\substack{#1}}}
\newcommand{\vbig}{\vphantom{\bigoplus}}
\newcommand{\seteq}{\mathrel{\mathop:}=}
\newcommand{\defeq}{\stackrel{\mathrm{def}}=}
\newcommand{\Mid}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\Ind}{\mathbf 1}
\newcommand{\bits}{\{0,1\}}
\newcommand{\sbits}{\{\pm 1\}}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Rnn}{\R_{\ge 0}}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\A}{\mathbb A}
\newcommand{\Real}{\mathbb R}
\newcommand{\mper}{\,.}
\newcommand{\mcom}{\,,}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\cone}{cone}
\DeclareMathOperator{\vol}{vol}
\DeclareMathOperator{\val}{val}
\DeclareMathOperator{\opt}{opt}
\DeclareMathOperator{\Opt}{Opt}
\DeclareMathOperator{\Val}{Val}
\DeclareMathOperator{\LP}{LP}
\DeclareMathOperator{\SDP}{SDP}
\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\Inf}{Inf}
\DeclareMathOperator{\size}{size}
\DeclareMathOperator{\poly}{poly}
\DeclareMathOperator{\polylog}{polylog}
\DeclareMathOperator{\min}{min}
\DeclareMathOperator{\max}{max}
\DeclareMathOperator{\argmax}{arg\,max}
\DeclareMathOperator{\argmin}{arg\,min}
\DeclareMathOperator{\qpoly}{qpoly}
\DeclareMathOperator{\qqpoly}{qqpoly}
\DeclareMathOperator{\conv}{conv}
\DeclareMathOperator{\Conv}{Conv}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\perm}{perm}
\DeclareMathOperator{\mspan}{span}
\DeclareMathOperator{\mrank}{rank}
\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb E}
\DeclareMathOperator{\pE}{\tilde{\mathbb E}}
\DeclareMathOperator{\Pr}{\mathbb P}
\DeclareMathOperator{\Span}{Span}
\DeclareMathOperator{\Cone}{Cone}
\DeclareMathOperator{\junta}{junta}
\DeclareMathOperator{\NSS}{NSS}
\DeclareMathOperator{\SA}{SA}
\DeclareMathOperator{\SOS}{SOS}
\DeclareMathOperator{\Stab}{\mathbf Stab}
\DeclareMathOperator{\Det}{\textbf{Det}}
\DeclareMathOperator{\Perm}{\textbf{Perm}}
\DeclareMathOperator{\Sym}{\textbf{Sym}}
\DeclareMathOperator{\Pow}{\textbf{Pow}}
\DeclareMathOperator{\Gal}{\textbf{Gal}}
\DeclareMathOperator{\Aut}{\textbf{Aut}}
\newcommand{\iprod}[1]{\langle #1 \rangle}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\pE}{\tilde{\mathbb{E}}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathcal{P}}
\notag
$
$
\newcommand{\sleq}{\ensuremath{\preceq}}
\newcommand{\sgeq}{\ensuremath{\succeq}}
\newcommand{\diag}{\ensuremath{\mathrm{diag}}}
\newcommand{\support}{\ensuremath{\mathrm{support}}}
\newcommand{\zo}{\ensuremath{\{0,1\}}}
\newcommand{\pmo}{\ensuremath{\{\pm 1\}}}
\newcommand{\uppersos}{\ensuremath{\overline{\mathrm{sos}}}}
\newcommand{\lambdamax}{\ensuremath{\lambda_{\mathrm{max}}}}
\newcommand{\rank}{\ensuremath{\mathrm{rank}}}
\newcommand{\Mslow}{\ensuremath{M_{\mathrm{slow}}}}
\newcommand{\Mfast}{\ensuremath{M_{\mathrm{fast}}}}
\newcommand{\Mdiag}{\ensuremath{M_{\mathrm{diag}}}}
\newcommand{\Mcross}{\ensuremath{M_{\mathrm{cross}}}}
\newcommand{\eqdef}{\ensuremath{ =^{def}}}
\newcommand{\threshold}{\ensuremath{\mathrm{threshold}}}
\newcommand{\vbls}{\ensuremath{\mathrm{vbls}}}
\newcommand{\cons}{\ensuremath{\mathrm{cons}}}
\newcommand{\edges}{\ensuremath{\mathrm{edges}}}
\newcommand{\cl}{\ensuremath{\mathrm{cl}}}
\newcommand{\xor}{\ensuremath{\oplus}}
\newcommand{\1}{\ensuremath{\mathrm{1}}}
\notag
$
$
\newcommand{\transpose}[1]{\ensuremath{#1{}^{\mkern-2mu\intercal}}}
\newcommand{\dyad}[1]{\ensuremath{#1#1{}^{\mkern-2mu\intercal}}}
\newcommand{\nchoose}[1]{\ensuremath}
\newcommand{\generated}[1]{\ensuremath{\langle #1 \rangle}}
\notag
$
$
\newcommand{\eqdef}{\mathbin{\stackrel{\rm def}{=}}}
\newcommand{\R} % real numbers
\newcommand{\N}} % natural numbers
\newcommand{\Z} % integers
\newcommand{\F} % a field
\newcommand{\Q} % the rationals
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % the complexes
\newcommand{\poly}}
\newcommand{\polylog}}
\newcommand{\loglog}}}
\newcommand{\zo}{\{0,1\}}
\newcommand{\suchthat}
\newcommand{\pr}[1]{\Pr\left[#1\right]}
\newcommand{\deffont}{\em}
\newcommand{\getsr}{\mathbin{\stackrel{\mbox{\tiny R}}{\gets}}}
\newcommand{\Exp}{\mathop{\mathrm E}\displaylimits} % expectation
\newcommand{\Var}{\mathop{\mathrm Var}\displaylimits} % variance
\newcommand{\xor}{\oplus}
\newcommand{\GF}{\mathrm{GF}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\notag
$
$
\newcommand{\class}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\coclass}[1]{\mathbf{co\mbox{-}#1}} % and their complements
\newcommand{\BPP}{\class{BPP}}
\newcommand{\NP}{\class{NP}}
\newcommand{\RP}{\class{RP}}
\newcommand{\coRP}{\coclass{RP}}
\newcommand{\ZPP}{\class{ZPP}}
\newcommand{\BQP}{\class{BQP}}
\newcommand{\FP}{\class{FP}}
\newcommand{\QP}{\class{QuasiP}}
\newcommand{\VF}{\class{VF}}
\newcommand{\VBP}{\class{VBP}}
\newcommand{\VP}{\class{VP}}
\newcommand{\VNP}{\class{VNP}}
\newcommand{\RNC}{\class{RNC}}
\newcommand{\RL}{\class{RL}}
\newcommand{\BPL}{\class{BPL}}
\newcommand{\coRL}{\coclass{RL}}
\newcommand{\IP}{\class{IP}}
\newcommand{\AM}{\class{AM}}
\newcommand{\MA}{\class{MA}}
\newcommand{\QMA}{\class{QMA}}
\newcommand{\SBP}{\class{SBP}}
\newcommand{\coAM}{\class{coAM}}
\newcommand{\coMA}{\class{coMA}}
\renewcommand{\P}{\class{P}}
\newcommand\prBPP{\class{prBPP}}
\newcommand\prRP{\class{prRP}}
\newcommand\prP{\class{prP}}
\newcommand{\Ppoly}{\class{P/poly}}
\newcommand{\NPpoly}{\class{NP/poly}}
\newcommand{\coNPpoly}{\class{coNP/poly}}
\newcommand{\DTIME}{\class{DTIME}}
\newcommand{\TIME}{\class{TIME}}
\newcommand{\SIZE}{\class{SIZE}}
\newcommand{\SPACE}{\class{SPACE}}
\newcommand{\ETIME}{\class{E}}
\newcommand{\BPTIME}{\class{BPTIME}}
\newcommand{\RPTIME}{\class{RPTIME}}
\newcommand{\ZPTIME}{\class{ZPTIME}}
\newcommand{\EXP}{\class{EXP}}
\newcommand{\ZPEXP}{\class{ZPEXP}}
\newcommand{\RPEXP}{\class{RPEXP}}
\newcommand{\BPEXP}{\class{BPEXP}}
\newcommand{\SUBEXP}{\class{SUBEXP}}
\newcommand{\NTIME}{\class{NTIME}}
\newcommand{\NL}{\class{NL}}
\renewcommand{\L}{\class{L}}
\newcommand{\NQP}{\class{NQP}}
\newcommand{\NEXP}{\class{NEXP}}
\newcommand{\coNEXP}{\coclass{NEXP}}
\newcommand{\NPSPACE}{\class{NPSPACE}}
\newcommand{\PSPACE}{\class{PSPACE}}
\newcommand{\NSPACE}{\class{NSPACE}}
\newcommand{\coNSPACE}{\coclass{NSPACE}}
\newcommand{\coL}{\coclass{L}}
\newcommand{\coP}{\coclass{P}}
\newcommand{\coNP}{\coclass{NP}}
\newcommand{\coNL}{\coclass{NL}}
\newcommand{\coNPSPACE}{\coclass{NPSPACE}}
\newcommand{\APSPACE}{\class{APSPACE}}
\newcommand{\LINSPACE}{\class{LINSPACE}}
\newcommand{\qP}{\class{\tilde{P}}}
\newcommand{\PH}{\class{PH}}
\newcommand{\EXPSPACE}{\class{EXPSPACE}}
\newcommand{\SigmaTIME}[1]{\class{\Sigma_{#1}TIME}}
\newcommand{\PiTIME}[1]{\class{\Pi_{#1}TIME}}
\newcommand{\SigmaP}[1]{\class{\Sigma_{#1}P}}
\newcommand{\PiP}[1]{\class{\Pi_{#1}P}}
\newcommand{\DeltaP}[1]{\class{\Delta_{#1}P}}
\newcommand{\ATIME}{\class{ATIME}}
\newcommand{\ASPACE}{\class{ASPACE}}
\newcommand{\AP}{\class{AP}}
\newcommand{\AL}{\class{AL}}
\newcommand{\APSPACE}{\class{APSPACE}}
\newcommand{\VNC}[1]{\class{VNC^{#1}}}
\newcommand{\NC}[1]{\class{NC^{#1}}}
\newcommand{\AC}[1]{\class{AC^{#1}}}
\newcommand{\ACC}[1]{\class{ACC^{#1}}}
\newcommand{\TC}[1]{\class{TC^{#1}}}
\newcommand{\ShP}{\class{\# P}}
\newcommand{\PaP}{\class{\oplus P}}
\newcommand{\PCP}{\class{PCP}}
\newcommand{\kMIP}[1]{\class{#1\mbox{-}MIP}}
\newcommand{\MIP}{\class{MIP}}
$
$
\newcommand{\textprob}[1]{\text{#1}}
\newcommand{\mathprob}[1]{\textbf{#1}}
\newcommand{\Satisfiability}{\textprob{Satisfiability}}
\newcommand{\SAT}{\textprob{SAT}}
\newcommand{\TSAT}{\textprob{3SAT}}
\newcommand{\USAT}{\textprob{USAT}}
\newcommand{\UNSAT}{\textprob{UNSAT}}
\newcommand{\QPSAT}{\textprob{QPSAT}}
\newcommand{\TQBF}{\textprob{TQBF}}
\newcommand{\LinProg}{\textprob{Linear Programming}}
\newcommand{\LP}{\mathprob{LP}}
\newcommand{\Factor}{\textprob{Factoring}}
\newcommand{\CircVal}{\textprob{Circuit Value}}
\newcommand{\CVAL}{\mathprob{CVAL}}
\newcommand{\CircSat}{\textprob{Circuit Satisfiability}}
\newcommand{\CSAT}{\textprob{CSAT}}
\newcommand{\CycleCovers}{\textprob{Cycle Covers}}
\newcommand{\MonCircVal}{\textprob{Monotone Circuit Value}}
\newcommand{\Reachability}{\textprob{Reachability}}
\newcommand{\Unreachability}{\textprob{Unreachability}}
\newcommand{\RCH}{\mathprob{RCH}}
\newcommand{\BddHalt}{\textprob{Bounded Halting}}
\newcommand{\BH}{\mathprob{BH}}
\newcommand{\DiscreteLog}{\textprob{Discrete Log}}
\newcommand{\REE}{\mathprob{REE}}
\newcommand{\QBF}{\mathprob{QBF}}
\newcommand{\MCSP}{\mathprob{MCSP}}
\newcommand{\GGEO}{\mathprob{GGEO}}
\newcommand{\CKTMIN}{\mathprob{CKT-MIN}}
\newcommand{\MINCKT}{\mathprob{MIN-CKT}}
\newcommand{\IdentityTest}{\textprob{Identity Testing}}
\newcommand{\Majority}{\textprob{Majority}}
\newcommand{\CountIndSets}{\textprob{\#Independent Sets}}
\newcommand{\Parity}{\textprob{Parity}}
\newcommand{\Clique}{\textprob{Clique}}
\newcommand{\CountCycles}{\textprob{#Cycles}}
\newcommand{\CountPerfMatchings}{\textprob{\#Perfect Matchings}}
\newcommand{\CountMatchings}{\textprob{\#Matchings}}
\newcommand{\CountMatch}{\mathprob{\#Matchings}}
\newcommand{\ECSAT}{\mathprob{E#SAT}}
\newcommand{\ShSAT}{\mathprob{#SAT}}
\newcommand{\ShTSAT}{\mathprob{#3SAT}}
\newcommand{\HamCycle}{\textprob{Hamiltonian Cycle}}
\newcommand{\Permanent}{\textprob{Permanent}}
\newcommand{\ModPermanent}{\textprob{Modular Permanent}}
\newcommand{\GraphNoniso}{\textprob{Graph Nonisomorphism}}
\newcommand{\GI}{\mathprob{GI}}
\newcommand{\GNI}{\mathprob{GNI}}
\newcommand{\GraphIso}{\textprob{Graph Isomorphism}}
\newcommand{\QuantBoolForm}{\textprob{Quantified Boolean
Formulae}}
\newcommand{\GenGeography}{\textprob{Generalized Geography}}
\newcommand{\MAXTSAT}{\mathprob{Max3SAT}}
\newcommand{\GapMaxTSAT}{\mathprob{GapMax3SAT}}
\newcommand{\ELIN}{\mathprob{E3LIN2}}
\newcommand{\CSP}{\mathprob{CSP}}
\newcommand{\Lin}{\mathprob{Lin}}
\newcommand{\ONE}{\mathbf{ONE}}
\newcommand{\ZERO}{\mathbf{ZERO}}
\newcommand{\yes}
\newcommand{\no}
$
科普對我來說是什麼?
22 Jan 2022
(See here for an English version)
這一個月來幾乎八成的時間都是在準備這個為期兩週的mini-course,未料在最後幾天,一個小插曲讓我重新認真思考了一下科普的本質倒底為何?我們真的需要科普嗎?科普會不會反而讓科學的進展開倒車?
先讓我們試圖釐清科普的定義吧!仔細想想的話,科普可是有非常多不同的形式和層級呢!
新聞媒體:“達爾文進化論被推翻了!”,這大概是一般人生活中最常接觸到的科普吧?各種新聞媒體到網路影片工作者,每天都有無數的人試著把最前沿的科學研究用淺顯易懂的方式傳達給大眾。當然這種形式的科普品質十分參差不齊,在市場競爭的叢林中,有些人靠聳動標題維生,有些人則是堅持專業獲得死忠粉絲。
科普書籍:如果更有一些時間和心力,一般人接下來會接觸到的大概就是科普書籍了。同樣的,書店中科學區的書架上,琳琅滿目,各種名人以及得獎科學家的加持,範圍更是從物理、化學、數學到生物、心理學等等。跟新聞媒體最大不同的地方是,科普書籍通常具有較完整的系統,有些甚至一出手就是四、五本一套。然而畢竟不是教科書,面向的是普羅大眾,科普書籍通常還是使用非常淺顯的敘述,不會假設太多的教育背景,很多時候甚至會省略掉一些有點重要的概念。
線上課程:有時候還真的挺羨慕現在的小朋友,在網路上很輕易的就可以免費看各種大學教授開設的線上課程。儘管許多時候這些線上課程被簡化了許多,但是透過作業以及網路論壇互動,甚至是簡單的實驗,是可以獲得科普書籍無法做到的學習效果。
大學通識課程:這也許是科普中最高的層次了吧?在大學通識課程中,教授們不但有整個學期的時間,同時學生們受過基本教育的訓練,即使可能來自稍微不同的背景,但是相對於一般民眾,可以假設這些大學生具有流暢的邏輯思辨和溝通能力。例如我在上學期助教了一門「Science and Cooking」的通識課(這門課同時也有線上版本,但是簡化了非常多),老師們在短短三個月中,讓來自不同學院的學生們淺嚐了諸如elastic modulus、diffusion equation等等在(初階的)專業課程中才會學到的基本概念。
至於我的mini-course在哪個層級呢?我自認為大概是介於線上課程和大學通識課程之間,因為課程內容在廣度的要求之下相對犧牲了深度,但是同時我也期許自己能夠盡可能的放入很多精髓讓學生在未來可以繼續探索。而下一步我也打算著手寫一本相關的科普書籍,希望用不同的形式呈現我對這些跨領域知識的理解和看法。
科普的目的是什麼?
我想每個人可能都對科普的目的有略微不同的看法,有些人覺得是為了讓艱澀的科學知識更容易讓大眾接觸,有些人覺得這是個很好增加知名度的方式,有些人可能是很享受教學和寫作的過程。
不過以我的例子來講,其實說來慚愧有點自私,最初的原因主要有兩個:首先是這樣可以讓我身邊的家人和朋友更知道我在做什麼,像是我在大學畢業前寫了一本「探索計算的極限」,講解了基本的計算理論概念,最後分送給朋友和家人。雖然最後我爸媽好像還是沒有看完,不過至少例如我的設計師好友小羊,在完全沒有相關背景的情況下,花了半年的時間讀完後,現在大約知道二進位制和圖靈機是什麼了!第二個原因則是透過科普的寫作,其實對我自己來說是一個沉澱和昇華的過程。在之中我會不斷地挑戰自己最底層的理解,接著試圖猜測潛在讀者可能會困惑的地方,在一來一回中琢磨出連我一開始可能都意想不到的敘事和理解方式。
但是這樣的動機的確可能還是稍嫌薄弱,看看我在這個mini-course所花費的心力,似乎不成比例。的確,另外一個科普(還有教育in general)帶來很大的附帶品就是和聽眾/讀者/學生的互動。這種互動和前述有些人追求的知名度是不一樣的,更像是一種找到知音的快樂。話說回來,終究還是自私的讓自己開心。
難道對我來說科普的目的就只有這樣嗎?如果站在客觀一點的角度來看,我是有些話想說。
首先我認為在現在的教育體制下,知識還是非常分配不均的。我一直到進了台大之後,才發現高中以前我竟然錯過了這麼多,如果當你連碰到好的書和教材的機會都沒有,那麼再怎麼聰明的人也是無法從無到有變出人類累積千百年的智慧。而到了Harvard之後,我更驚覺big picture的重要。當先建立了好的基礎觀念以及了解一個領域的大方向結構和價值觀,學東西的效率完全是提升好幾個層級。然而無論是好的教材或是big picture,即使在現在網路發達的世代,仍然還是沒有那麼容易讓一般人接觸到。
Everything should be made as simple as possible, but not simpler.
所有事物都應該被盡可能的簡化,但是不能簡化過頭。
- Albert Einstein.
此外,我覺得科普在現代社會還有另一個特殊的角色,那就是增進領域之間的交流和學習,這也是我這門mini-course的核心價值。在當今各個領域都蓬勃發展,且變得越來越複雜艱澀之後,跨領域學習面對的牆變得越來越高越來越厚。同時跨領域互動的目的也和本科學習的目的有些不同,更多的是在交流彼此的核心概念,藉此激發出在各自領域的新想法。
科普的危險
接下來讓我們進入本文的核心討論:科普是不是危險的?
以我的觀察來看,認為科普產生弊大於利的論證,主要著重在於(1)科普會讓一般人有種覺得懂了很多的錯覺(2)科普讓人變得懶惰而不扎實的學習(3)科普過度簡化甚至可能造成科學進展的倒退。
首先我非常認同前兩點,一些“不好”的科普的確很容易衍生這樣的社會問題。但是我也想指出這種論證的一個盲點:會因為讀了科普而產生懂很多的錯覺或是對學習懶惰的人,他們並不會因為沒有了科普就變成一個上進的人!相反的是,如果有個好的科普,能夠讓人在學習的過程中反而更發現自己的無知,這樣反而達到正面效果,人們會因此更知道自己缺乏什麼而繼續學習。而這也完全是我在我的mini-course想要跟學生們傳達的!在這邊也跟大家分享一個我不斷跟學生強調的一個quote:
Our knowledge can only be finite, while our ignorance must necessarily be infinite.
我們的知識只能是有限,同時我們的無知必定是無限。
- Karl Popper.
所以對我來說,(1)和(2)更像是對科普推廣者的提醒,而非真正的危險。
至於(3),這個就非常的subtle了,身為非常資淺的學術工作者,我在這邊只敢提供一些小小的評論,同時希望可以激起更多對於類似議題的討論!
首先,科學是不斷地進步的嗎!?沒辦法讓科學”進步”的就不配被稱為好的知識或研究嗎?如果是一直身在學院的象牙塔中,一路吸收所謂“正確”的科學知識,那麼的確看似只要跟最後留下來的理論不相符的都可以被稱為沒用。然而這絕對不是科學發展真實的面貌,綜觀科學史,現在最終留下的理論,很多是奠基在如今被視為不那麼正確,或甚至在當初有些誤導人的理論。而在科學發展的前沿,我們也知道許多如今被視為傑出的理論,在一開始通常也都是在許多略有錯誤的理解和猜想中,慢慢修正孕育出來的。
最後,我個人認為,把科學的論述單一化是非常危險的,這樣反而更容易阻礙科學的進展!讓我們從演化的角度來看看,如果沒有什麼變異,那麼雖然現在這個理論把世界解釋的很好,但同時也意味著改變或”往前”的動力是比較小的。反觀在變異大的情況下,縱使會先產生許多被淘汰掉的變種,甚至走倒車,但是需要透過這些變異,才可能讓我們更有機會產生下一個“典範轉移”!
自我省思與期許
寫到這邊,我希望我至少能夠暫時說服讀者如果有“好的科普”,那麼對於社會、科學發展、跨領域交流,都是利大於弊的。不過最終就必須正視我所謂“好的科普”是什麼?會不會這樣的理想在現實中是不可行的?該如何分辨科普的優劣?
我覺得,一個“好科普”的必要條件,是清楚地讓讀者或學生知道有什麼東西是被省略的、有什麼東西是我們還不知道的。畢竟知識本身最終還是由接受的一方詮釋,再好的老師或是再好的書,都無法控制別人如何解讀(同時這也是科學非常“社會化”的一面)。於是在知識本身的呈現之外,適時的提醒便顯得非常重要。其實話說到底,即使離開科普的討論,在科學的學習和研究中,抱持謙卑和清楚地知道自己不懂什麼,也是不可或缺的。下圖是個我的mini-course中最後一堂課中的投影片,在這邊作為一個警惕與期許。
至於理想中的好科普是否在現實中可行?我覺得這個問題就像是在問科學家是否可以找到理想中的完美理論一樣,到頭來可能更接近於個人信仰了。至少我個人是保持樂觀,在市面上的確也看到一些對我來說還不錯的書或是課程。但至於該如何辨別科普的優劣,這個可能真的就只能靠個人修煉了。任何的書或是課程,都是會有正面和負面的聲音同時出現,有時候正面音量大也不見得代表就是好的,反之負面音量大也不代表一無可取。最終雪亮的眼睛以及批判的閱讀,才是能夠帶領一個人在知識之路顛簸向前的路燈。
最後,也想留幾句話給未來的自己作為一個警惕。在受到刺激的時候,別急著反駁,甚至不小心忘記了檢視自己的問題。人都會犯錯,最重要的是坦然面對自己的錯誤,並且在之中成長。期許自己,be confident but also be humble, be curious but also be rigorous。