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Simons Institute十週年研討會
27 May 2022
趁著六月要去實習前的空擋，跑來參加了Simons Institute十週年研討會。研討會包含了二十個左右橫跨各種主題的演講，以及幾個討論理論CS未來發展的座談會。由於年底就要開始想想下一步要往哪裡去了，這個研討會可以說是一個讓我想清楚下個階段研究方向的的好機會。
首先不得不說這次Simons十週年研討會讓我對理論CS有了全新的認知，原本抱持著參加類似STOC/FOCS這種會議的心態，預期大部分的演講應該都是著重複雜數學技術。沒想到我完全跌破了眼鏡，整整三天下來(我第一次在一個會議中聽了所有的演講)，不光是主題的多樣性，連研究方式的豐富程度也讓我大開眼界。尤其是大部分的講者除了呈現了他們想要解決的研究問題和成果，更是在不自覺中展現了他們面對各自遇到的困難問題時，不同解決問題的方法論。在前往Berkeley的路上時，我還在想該如何問問大家對於數學證明之外的理論研究的方法論有沒有什麼看法，在聽了這些演講後，這個問題還沒被問出就被回答了。
而這幾年來我心中對理論CS發展方式的批判和質疑，也在會議劃下句點時跟著煙消雲散。我才終於發現到雖然會議中的主流文章越來越加複雜和脫離實際，但是還是有著一群領域內的大佬們試圖發展不同的方式，用理論的角度來試圖回答一些數學證明不太能觸及的問題。這邊我要澄清一下我還是非常喜歡數學證明，平常更是會不時學一些新的數學理論(像是上週末看了好多的代數拓墣)，不過同時我覺得數學證明不見得在所有跟計算相關的問題上都能夠得到令人滿意的解釋，甚至有時候過度追求完美的數學證明反而會失去了深刻的見解。
在聽了第二天下午的panel discussion以及和幾個前輩聊聊之後，更是讓我對於未來中長期的研究方向/方法論有了更成熟的圖像，感覺就像是重新地愛上了理論CS這個領域，對於未來充滿了興奮與期待。
對於「理論」的重新思考
語言真的是個很奇妙的東西，當年紀越來越大，很多詞彙的定義對我來說反而變得越來越模糊不清了。而「理論」大概就是一個很好的例子吧！(另一個讓我最近花很多時間思考的是「科學」)
年輕的時候，「理論」之於我來說就是抽象的邏輯推導建模，也就是設立基礎公設/公理/定義，然後從一系列的邏輯推演中得出理論理解。而理論CS的基礎教育也全部都是使用provable analysis，只有數學定理才能被稱之為理論。然而，這就是做理論唯一的方法嗎？或是讓我們退後一步，到底什麼是理論？理論的目的/意義/影響是什麼？理論可以有什麼樣的形式？
理論是什麼？
我很喜歡Wikipedia上對理論(Theory)的定義：
A theory is a rational type of abstract thinking about a phenomenon, or the results of such thinking.
理論是關於一個現象的理性抽象思考，或是其產物。
但也許這個定義有點太哲學了，讓我們試著以它做為起點，來拼湊看看一些關於「理論」更具體的描述和性質。我認為，一個理論是個對於某些現象或是概念的知識體系。而這個體系中主要包含了(1)一套理論語言(2)知識形成和驗證的機制。
理論語言：說到一個理論使用的語言，可能馬上想到的就是相關學科的一些專有名詞。的確這是語言最基礎的一個層次，但理論語言通常可以提供遠遠高於定義層次的作用。
首先理論語言提供了一個思考事情的方式。例如達爾文的天擇論，提供了一套十分生動的語言，用擬人化(競爭/適者生存)的方式讓生物學家(甚至一般人)來思考和討論物種的演化。另外一個我很喜歡，但是可能比較需要一些數學經驗的人才能體會的例子是範疇論(category theory)。長話短說，範疇論提供了一套非常乾淨簡潔的語言，讓數學家可以用同樣的方式理解許多原本看似距離遙遠的數學概念。
更進一步，理論語言提供了一個領域規劃未來研究方向的基石。以電腦科學為例，計算複雜度理論(computational complexity)提供了複雜度類別(complexity classes)這套語言，讓人們可以非常具體的指出領域內重要的問題是什麼(e.g., P versus NP)。反觀一些還很缺乏理論語言的領域，諸如「什麼是intelligence?」等問題，會讓研究學者非常難以嘗試回答，因為甚至沒有什麼著力點。
而一旦理論語言被確立了之後，其實同時也為一個領域能夠回答的問題設了一個上限。就像哥德爾不完備定理(Gödel’s incompleteness theorems)告訴我們的，一個完善的邏輯系統總是有他無法解釋/證明的命題。即使是對非形式化的語言，我相信同樣的極限也是存在的，只是可能更難清晰的論證出到底那個極限在哪裡。
知識形成和驗證的機制：一個理論體系除了語言之外最重要的大概就是一套驗證知識的機制了吧！換句話說，就是該如何系統性且客觀理性地判斷什麼樣的論述可以被留存下來。
隨著所探討的學科和理論語言的不同，甚至和歷史發展或是學者的風格，每個領域的驗證機制或多或少都有些異同之處。而我認為大部分的驗證機制都可以被歸類為以下兩種類型的其中一種，或是在兩者中取了某種平衡：
形式方法(formal method)：
首先其實我原本想用的詞是「分析方法(analytical method)」，但是考量到一些領域對於分析方法有不一樣的詮釋，我決定用個比較不容易產生誤會的詞來解釋我想表達的概念。
對我來說，形式方法的論證機制的特徵是著重在根據一些共同認定或是假設(axioms/hypotheses)的基礎之下，使用數學證明和邏輯推演論證出更多的定理(theorems)，並且在眾多定理之下繼續往前推導出更多新的定理。而這些定理，以及人們對定理的詮釋，則構成了知識。在許多時候，推導定理的過程會產生一些意想不到的驚喜，而使得這些過程/數學證明往往也會成為知識的一部份。
數學毫無疑問地就是使用形式方法的最佳例子，而理論CS中大部分的子領域也都是使用這樣的方法論。在一些自然科學的理論分枝，像是一部份的理論物理或是理論生物研究，也會或多或少採用形式方法。
形式方法的優點在於，除了邏輯的嚴格性之外，它沒有太多其他的限制，因此有時候可以帶領人們思考地非常遙遠。很多的例子可以在理論物理中見到(e.g.,相對論、量子力學)，而在理論CS之中，許多有趣的概念也是受益於這樣自由的思考模式(zero-knowledge proof, probabilistic checkable proof)。不過這個優點的反面就是很容易受到完美邏輯論證的限制綁手綁腳，或是為了數學上的正確必須用非常冗長瑣碎的證明解釋一些其實很簡單的概念。
經驗方法(empirical method)：
絕大多數的科學學科(包括其比較理論的分枝)採用的都是經驗方法，也就是透過實驗觀察，或是數值模擬的方式來搜集事實(facts)及驗證假說。當然根據不同的學科和問題，會有不同的子機制(e.g.,不同的統計方法)來檢視什麼樣的觀察是合理的，在這邊我想強調的比較是經驗方法的最底層次是現實經驗，這也是為什麼我把數值方法歸類於此而非獨立成第三類驗證機制。
經驗方法與形式方法最大不同的地方就在於，它提供了事實(facts)，它告訴了我們且試圖解釋真實發生的實情。雖然經驗方法得出的一切觀察與理論都還是參雜了一些人為的推論的解讀，但是本質上它是服膺於實際發生現象。也因此，經驗方法的底線是(在論證”合理”之下)符合和解釋現實。
So what?
寫了這麼多看起來像是廢話的東西，我們終於可以來討論我對「理論」重新思考的重點了。由於我其實也還在塑建自己想法的過程中，所以以下我將會用提出問題的方式來呈現我的思考，希望可以激發讀者做一些深入的思考，也期待這些問題可以漸漸地找到一些有意思的回答。
現有理論方法論的邊界？私認為現有的理論方法論走到了兩個轉捩點。其一是形式方法進入到了近乎巴洛克風格的階段，越來越複雜且和現實脫離。其二是機器學習/深度學習帶來經驗方法的革命，各種人類無法理解但是實際上有效的方法(e.g., Alphafold)大量湧現。前者警示了我們傳統完美數學邏輯論證的方式似乎進入了緩慢成長且窄門化的境界，後者則是挑戰了現有理論方法能夠處理的邊界。我們是否真的能依賴一直以來的方法論們來處理這些舊時代遺留的重要問題和新時代產生的新問題？我們是否需要新的理論架構？
如何構造不同層次的理論語言？對於上述的問題，我個人認為的突破口是建立一系列服務不同層次理解的理論語言。現有的理論語言大多要麼是純粹數學邏輯化的，要麼是描述性(descriptive)的，鮮少能有介於之間且能夠順暢翻譯的語言。一個好的例子可能又是達爾文的天擇論，這個理論架構中不但有一套比較方便溝通類比的直覺性語言(e.g., 適者生存)，同時有比較機械化的中層語言(e.g., 適應性地貌(fitness landscape))，還有底層的數學語言(e.g., 演化動力學(evolutionary dynamics)){:target=”_blank”})。對於那些卡在底層數學證明的問題，我們是否能夠往上一層建立個不完美但堪用的理論語言？
有什麼混用形式方法與經驗方法或是其他的方法論？物理學可以說是最成功將純粹抽象數學推導和實驗觀察結合的學科，其他的領域是否能夠也有這樣混合並用的方法論？其實每個領域或多或少都有不同程度的混用這兩種截然不同的方法論，只不過子領域之間的隔閡造成不良的溝通。而根本的原因可能還是目的與審美的不同，導致形式方法與經驗方法漸行漸遠。也許要形成新的方法論沒有想像中那麼的難，真正的挑戰反而是在於如何接壤過去舊有的學派，展開心胸接納不同的方法。